Bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến mũ - logarit - Hoàng Xuân Bính

CHUYÊN ĐỀ:

CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

LIÊN QUAN ĐẾN MŨ-LOGARIT

Tác giả: Hoàng Xuân Bính

Nhóm giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020

Trong các đề thi thử và đề thi minh họa của BGD&ĐT, các em học sinh gặp nhiều bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức mà liên quan đến khái niệm hàm số mũ và logarit. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ cách làm về dạng bài tập này và có hướng giải quyết khi gặp trong các đề thi. 1. Dạng 1 : Đặt ẩn phụ để biến đổi loga - Hướng 1 : Với các bài toán mà biểu thức có dạng   log ,log b a f a b thì ta có thể đặt ẩn phụ

log t a t b b a    để biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức hàm một biến theo t .

- Hướng 2 : Với bài toán dạng : 

p u v a b ab   thì có thể đặt loga t b 

  1 1 , 1 u p t v p t

               từ đó biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức hàm một biến theo t .

- Hướng 3 :

Với bài toán có dạng:  

q u v p a b c abc    thì ta đặt  

q u v p a b c abc t     loga u t  

, logb v t  , logc p t  , logabc q t  và rút ra được : 1 1 1 1 logt abc a b c q    

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho a , b là các số thực dương thỏa mãn 1 b  và a b a   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức log 2log . a b b

a P a b

      

A. 6. B. 7 . C. 5. D. 4 .

Đề khảo sát chất lượng – L2 – Chuyên Vĩnh Phúc – 2018-2019

Lời giải

Chọn C

Đặt log t a t b b a    . Khi đó: 1

1 log 4.log t t

t

a a P a a 

     4 1 1 1

t

t t

   

Vì 1 b  và a b a   nên 1 1 2 t   .

Khi đó:     4 1 4 1 1 1 1 1

t t t P t t t t

        

  4 1 1 2 . 1

t t

t t

    5 

Vậy min 5 P  khi 2 3 t 

Ví dụ 2: Xét các số thực , , , a b x y thỏa mãn 1, 1 a b   và 3 2 2 x y x y a b ab     . Giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 3 4 1 P x y    bằng

A. 5 3 . B. 5

3 . C. 3

4 . D. 6 5 .

Đề khảo sát chất lượng-L2-Sở giáo dục Phú Thọ-2019-2020

Lời giải Chọn A

Giả thiế: 3 2 2 x y x y a b ab      

 

3

3

1 2 log 1 log 3 1 2 log 1 log 3

a a

b b

x y ab b

x y ab a

         

Đặt loga b t  thì 1 1 1 3 6 x t t

            

và 1 1 12 y t t

           

Suy ra: 1 1 1 1 1 1 2 3 P t t t t

                             

1 5 1 5 5 .2 . 6 6 3 t t t t

             

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 5 3 .

Ví dụ 3: Cho , , 0; x y z  , , 1 a b c  và 3 x y z a b c abc    . Giá trị lớn nhất của biểu thức

2 1 1 P z z x y     thuộc khoảng nào dưới đây?

A.   0;2 . B.   3;. C.   1;3 . D.   2;4 .

Đề thi thử TN THPT Chuyên Lê Khiết-Quảng Ngãi-2019-2020

Lời giải

Chọn C

Đặt 3 x y z a b c abc t     ( Đk: 1 t  ). Suy ra log , log , log a b c x t y t z t    và

1 log 3 abc t 

1 1 1 log log log log 3 t t t t a b c abc x y z         nên 1 1 1 3 x y z    .

Khi đó: 2 1 3 P z z z     .

Xét hàm số 2 1 ( ) 3 f z z z z     , với 0 z  .

Ta có:

3 2

2 2 1 ( ) z z f z

z     

( ) 0 1 f z z      . Bảng biến thiên Từ bảng BBT, ta có

  0;max ( ) (1) 2 f z f    .