Bài toán min - max liên quan hàm số mũ - logarit nhiều biến - Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

MIN-MAX LIÊN QUAN HÀM MŨ, HÀM LÔ-GA-RÍT (NHIỀU BIẾN)

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT.

DẠNG 2: ÁP DỤNG PHÁP HÀM SỐ, HÀM ĐẶC TRƯNG. + ÁP DỤNG HÀM SỐ + ÁP DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG

DẠNG 3: ÁP DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT. Câu 1: Xét các số thức ܽ, ܾ, ݔ, ݕthỏa mãn ܽ> 1, ܾ> 1và ܽ௫= ܾ௬= √ܾܽ

య . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ܳ= ݔ+ 3ݕthuộc tập hợp nào dưới đây?

A. (0; 1). B. ቀ2; ହ

ଶቁ, ቀ ଷ

ଶ; 2ቁ. C. ቀ ଷ

ଶ; 2ቁ. D. ቀ ହ

ଶ; 3ቁ.

Lời giải Chọn B

ܽ௫= ܾ௬= √ܾܽ

య ⇒൞ ݔ= ݈݋݃௔√ܾܽ

య = 1 3 (1 + ݈݋݃௔ܾ)

ݕ= ݈݋݃௕√ܾܽ

య = 1 3 (1 + ݈݋݃௕ܽ)

⇒ܳ= ݔ+ 3ݕ= 1 3 (1 + ݈݋݃௔ܾ) + 1 + ݈݋݃௕ܽ= 4 3 + 1 3 ݈݋݃௔ܾ+ ݈݋݃௕ܽ≥4 3 + 2ඨ1 3 ∈൬2; 5 2൰

Câu 2: Cho hai số thực ܽ, ܾ đều lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ܵ= ଵ

௟௢௚ೌ್௔+ ଵ

௟௢௚√ೌ್ ర ௕ bằng

A. ସ

ଽ. B. ଽ

ସ. C. ଽ

ଶ. D. ଵ

ସ Lời giải Chọn B

Ta có ܵ= ଵ

௟௢௚ೌ್௔+ ଵ

௟௢௚√ೌ್ ర ௕= ݈݋݃௔(ܾܽ) + ݈݋݃௕√ܾܽ

ర

= 1 + ݈݋݃௔ܾ+ ଵ

ସ(݈݋݃௕ܽ+ 1) = ݈݋݃௔ܾ+ ଵ

ସ௟௢௚ೌ௕+ ହ

ସ.

Đặt ݔ= ݈݋݃௔ܾ. Do ܽ, ܾ> 1 nên ݔ> 0.

Khi đó ܵ= ݔ+ ଵ

ସ௫+ ହ

ସ≥2ටݔ. ଵ

ସ௫+ ହ

ସ= ଽ

ସ (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ݔ và ଵ

ସݔ).

Dấu " = " xảy ra ⇔ቊݔ= ଵ

ସ௫ ݔ> 0 ⇔ቊݔ= ± ଵ

ଶ ݔ> 0 ⇒ݔ= ଵ

ଶ.

Vậy ݉݅݊ܵ= ଽ

ସ tại ݈݋݃௔ܾ= ଵ

ଶ⇔ܾ= √ܽ.

Câu 3: Với ܽ, ܾ, ܿ là các số thực lớn hơn 1, đặt ݔ= ݈݋݃௔(ܾܿ), ݕ= ݈݋݃௕(ܿܽ) , ݖ= ݈݋݃௖(ܾܽ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức ܲ= ݔ+ ݕ+ 4ݖ. A. 6. B. 12. C. 10. D. 16. Lời giải Chọn C Ta có ݔ= ݈݋݃௔ܾ+ ݈݋݃௔ܿ; ݕ= ݈݋݃௕ܿ+ ݈݋݃௕ܽ; ݖ= ݈݋݃௖ܽ+ ݈݋݃௖ܾ. Khi đó ܲ= ݔ+ ݕ+ 4ݖ= ݈݋݃௔ܾ+ ݈݋݃௔ܿ+ ݈݋݃௕ܿ+ ݈݋݃௕ܽ+ 4 ݈݋݃௖ܽ+ 4 ݈݋݃௖ܾ.

ܲ= ቀ݈݋݃௔ܿ+ ସ

௟௢௚ೌ௖ቁ+ ቀ݈݋݃௕ܿ+ ସ

௟௢௚್௖ቁ+ ቀ݈݋݃௔ܾ+ ଵ

௟௢௚ೌ௕ቁ.

Vì ܽ, ܾ, ܿ> 1 ⇒݈݋݃௔ܾ> 0; ݈݋݃௕ܿ> 0; ݈݋݃௔ܿ> 0 nên

ܲ= ቀ݈݋݃௔ܿ+ ସ

௟௢௚ೌ௖ቁ+ ቀ݈݋݃௕ܿ+ ସ

௟௢௚್௖ቁ+ ቀ݈݋݃௔ܾ+ ଵ

௟௢௚ೌ௕ቁ≥2.2 + 2.2 + 2.1 = 10.

Vậy ݉݅݊ܲ= 10 ⇔൝ ݈݋݃௔ܿ= 2 ݈݋݃௔ܾ= 1 ݈݋݃௕ܿ= 2 ⇔൝ ܿ= ܽଶ

ܽ= ܾ ܿ= ܾଶ ⇔ቄܽ= ܾ ܿ= ܽଶ.

Câu 4: Xét các số thực dương ܽ, ܾ, ݔ, ݕ thỏa mãn ܽ> 1, ܾ> 1 và ܽ௫= ܾ௬= √ܾܽ. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ܲ= ݔ+ 2ݕ thuộc tập hợp nào dưới đây?

A. (1; 2). B. (2; ହ

ଶቁ. C. (3; 4). D. ( ହ

ଶ; 3ቁ.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Lời giải Chọn D

Ta có ܽ௫= ܾ௬= √ܾܽ⇔ቊݔ= ݈݋݃௔√ܾܽ

ݕ= ݈݋݃௕√ܾܽ

⇔ቐ ݔ= ଵ

ଶ(1 + ݈݋݃௔ܾ)

ݕ= ଵ

ଶ(1 + ݈݋݃௕ܽ) .

ܲ= ݔ+ 2ݕ= ଵ

ଶ+ ଵ

ଶ݈݋݃௔ܾ+ 1 + ݈݋݃௕ܽ= ଵ

௟௢௚ೌ௕+ ଵ

ଶ݈݋݃௔ܾ+ ଷ

ଶ.

Đặt ݐ= ݈݋݃௔ܾ> 0 ⇒ܲ= ଵ

௧+ ௧

ଶ+ ଷ

ଶ(ݐ> 0).

ܲ= ଵ

௧+ ௧

ଶ+ ଷ

ଶ≥2ට ଵ

௧. ௧

ଶ+ ଷ

ଶ= √2 + ଷ

ଶ∈( ହ

ଶ; 3ቁ.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ቊ

ଵ

௧= ௧

ଶ ݐ> 0 ⇔ݐ= √2.

Vậy ݉݅݊ܲ= √2 + ଷ

ଶ∈ ହ

ଶ; 3ቁ.

Câu 5: Cho ݔ, ݕ là các số thực thỏa ݈݋݃ଷ௫ା௬(ݔଶ+ ݕଶ) ≤1. Khi 3ݔ+ ݕ đạt giá trị lớn nhất, thì giá trị ݇= ௫

௬ là

A. ݇= 1. B. ݇= ଵ

ଶ. C. ݇= 3. D. ݇= ଵ

ଷ. Lời giải Chọn C Xét trường hợp 3ݔ+ ݕ> 1.

  2 2 2 2 3 log 1 3 x y x y x y x y       (1).

Đặt ܲ= 3ݔ+ ݕ⇒ݕ= ܲ−3ݔ. (1) ⇔ݔଶ+ (ܲ−3ݔ)ଶ−ܲ≤0 2 2 10 6 0 x Px P P      (2). Δ = 9ܲଶ−10(ܲଶ−2) = −ܲଶ+ 10ܲ Nếu Δ < 0 thì (2) vô nghiệm. Do đó Δ ≥0 ⇔0 ≤ܲ≤10. Vậy ܲ௠௔௫. Khi đó (2) ⇔ݔ= ଺௉

ଶ଴= 3 ⇒ݕ= 1 ⇒݇= ௫

௬= 3.

Câu 6: Cho các số thực ݔ; ݕ thỏa mãn ݔଶ+ 4ݔݕ+ 12ݕଶ= 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức ܲ= ݈݋݃ଶ(ݔ−2ݕ)ଶ là A. ݉ܽݔܲ= 3 ݈݋݃ଶ2. B. ݉ܽݔܲ= ݈݋݃ଶ1 2. C. ݉ܽݔܲ= 12. D. ݉ܽݔܲ= 16. Lời giải Chọn B Điều kiện ݔ≠2ݕ. Từ ݔଶ+ 4ݔݕ+ 12ݕଶ= 4suy ra: Nếu ݕ= 0 thì ݔଶ= 4 ⇒ܲ= 2 Nếu ݕ≠0ta có:ܲ= ݈݋݃ଶ(ݔ−2ݕ)ଶ⇔4(ݔ−2ݕ)ଶ= 4. 2௉

⇒4. 2௉

4 = 4. (ݔ−2ݕ)ଶ

ݔଶ+ 4ݔݕ+ 12ݕଶ= 4 ቀݔ 2ݕ−1ቁ ଶ

ቀݔ 2ݕቁ ଶ + 2 ݔ 2ݕ+ 3

Đặt ݐ= ௫

ଶ௬, ݐ∈ℝ, 2௉= ସ௧మି଼௧ାସ

௧మାଶ௧ାଷ⇔2௉(ݐଶ+ 2ݐ+ 3) = 4ݐଶ−8ݐ+ 4

⇔(2௉−4)ݐଶ+ 2(2௉+ 4)ݐ+ 3. 2௉−4 = 0Xét với (ܲ≠2) Để phương trình có nghiệm: ߂ᇱ≥0 ⇔(2௉+ 4)ଶ−(2௉−4)(3.2௉−4) ≥0 ⇔−2(2௉)ଶ+ 24. 2௉≥0 ⇔0 ≤2௉≤12 …