Phương trình lôgarit chứa tham số

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CHỨA THAM SỐ

PHƯƠNG PHÁP Tìm m để   , 0 f x m  có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D trong phương trình logarit chứa tham số:

Bước 1. Tách m ra khỏi biến số và đưa về dạng   f x A m  .

Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số  f x trên D.

Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số m để đường thẳng  y A m 

nằm ngang cắt đồ thị hàm số  y f x  .

Bước 4. Kết luận các giá trị cần tìm của m để phương trình   f x A m  có nghiệm (hoặc có

k nghiệm) trên D.  Lưu ý

Nếu hàm số  y f x  có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị  A m cần tìm là

những m thỏa mãn:    min max x D x D f x A m f x     .

Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng

biến thiên để xác định sao cho đường thẳng  y A m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số  y f x 

tại k điểm phân biệt. Lưu ý quan trọng:

Các bước giải phương trình logarit có tham số cần chú ý:  Bước 1. Đặt điều kiện (điều kiện đại số  điều kiện loga):

Đ 0 1 log 0 a

K a b b

    

và  

 

Đ

Đ

log 0

log 0 K

a

K

a

f x f x

f x f x

        

       

.

 Bước 2. Dùng các công thức và biến đổi đưa về các phương trình cơ bản rồi giải.  Bước 3. So với điều kiện và kết luận giá trị tham số cần tìm.

Câu 1. Cho hàm số     2 2 8 1 2 3log 2 2 3 1 2 log 1 6 0 x m x m x x m            . Số các giá trị nguyên

của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 15 x x   là:

A. 13 2 m   . B.

2 3 2 m   . C. 13 2 3 2 2 m     . D. 3 4 m  .

Lời giải Chọn C

Ta có:     2 2 8 1 2 3log 2 2 3 1 2 log 1 6 0 x m x m x x m           

    2 2 2 2 log 2 2 3 1 2 log 1 6 x m x m x x m           

 

2

2 2 1 6 0

2 2 3 1 2 1 6

x x m

x m x m x x m

            

mũ lẻ

mũ chẵn

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC

Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

  

 2 2

2

1 6 0 * 1 6 0

2 2 2 4 0 1

2

x x m x x m

x m x m x m

x

                        

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt thỏa mãn (*)

2

2 2 4 2 1 6 0

4 8 1 0 2 3 2 2 1 6 0 . 2 3 6 0 2 2

m m m

m m m m m m

   

                  

Theo giả thiết  

2 2 1 2

13 17 15 2 2 225 4 8 221 0 2 2 x x m m m m              .

Do đó 13 2 3 2 2 m     .

Câu 2. Cho phương trình   2 4 2 2 log log 5 1 log 0 x x m     ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu

giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 0 m  . B. 5 m  . C. 0 5 m  . D. 3 4 m  .

Lời giải Chọn C

Điều kiện:

1 5

0

x

m

    

.

Xét phương trình:   2 4 2 2 log log 5 1 log x x m     1 .

    2 2 2 2 2 5 1 5 1 1 1 log log 5 1 log log log 5 2 x x x x m m m m x x x              .

Xét  1 5 f x x   trên khoảng 1 ; 5       

.

Có  2 1 1 0, ; 5 f x x x

          

và  1 lim lim 5 5 x x f x x  

        

.

Ta có bảng biến thiên của hàm số  f x :

Phương trình  1 có nghiệm khi và chỉ phương trình  2 có nghiệm 1 5 x  .

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình  1 có nghiệm khi và chỉ khi 0 5 m   .