Bất phương trình mũ chứa tham số

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ

PHƯƠNG PHÁP Đưa về cùng cơ số.

+ Nếu 1 a  thì     f x g x a a f x g x    .

+ Nếu 0 1 a   thì     f x g x a a f x g x    .

Đặt ẩn phụ.

Sử dụng tính đơn điệu:

Hàm số ( ) y f x  đồng biến trên D thì   f u f v    , u v u v D     . Hàm số ( ) y f x  nghịch biến trên D thì   f u f v    , u v u v D     .

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số   2021;2021 m   để bất phương trình

1 1 . . 7 3 27 3 2 x x x x m m      có nghiệm?

A. 2018 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2017 . Lời giải Chọn A

Đặt 3x t  điều kiện 0 t  .

Bất phương trình trở thành:

 3

3 27 * 3 m t t t t

        

. Do 0 t  nên 3 0 t t  suy ra 

2

2 9 * 3 m t t     .

Xét    2

2 9 0 3 f t t t t     . Với 0 t  ta có  3 18 2 f t t t    ;  3 0 f t t    .

Ta có bảng biến thiên

Để  * có nghiệm thì    0;min 3 m f t    . Vậy có 2018 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu

đề bài.

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 3 5 2 x x m     nghiệm

đúng với mọi   2 ;log 5 x .

A. 4 m  . B. 2 2 m  . C. 4 m  . D. 2 2 m  . Lời giải Chọn A

Đặt 2x t . Vì 2 log 5 x  2 log 5 0 2 2 x    0 5 t   .

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC

Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Yêu cầu bài toán trở thành 3 5 t t m    ,   0;5 t  .

Xét hàm số  3 5 f t t t     với 0 5 t  .

Có  1 1 2 3 2 5 f t

t t     

.



3 5 1 1 0 0 1 2 3 2 5 3 5

t f t t t t t t

               

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có: 4 m  .

Câu 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của [ 30;30] m để bất phương trình

(3 5) (3 5) ( 1).2 x x x m m      đúng với 1 ; 2 x      

?

A. 36. B. 34. C. 35. D. 37 . Lời giải Chọn A

Ta có : (3 5) (3 5) ( 1).2 x x x m m       3 5 3 5 1 2 2

x x m m                     

Đặt 3 5 2

x t         

, do 1 ; 2 x      

suy ra

1 2 3 5 5 1 ; ; 2 2 t

                           

Khi đó 3 1 5 2

x

t

      

   . Suy ra bất phương trình:

2 2 1 ( 1) ( ) 1 m t t t m t t m t m f t t t

         đúng với 5 1; 2 t         

Khảo sát nhanh hàm số:

2 ( ) 1 t t f t t

   với 5 1; 2 t         

.

Suy ra được giá trị nhỏ nhất: min ( ) (1 2) 3 2 2 min ( ) 3 2 2 5,8. f t f m f t         

Suy ra: 30 5 m    Suy ra có tất cả 36 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Câu 4. Gọi S là tập chứa tất cả những giá trị nguyên [ 20;20] m để bất phương trình đúng với mọi

x :

2 2 sin 1 cos 3 (2 1)3 4 x x m     . Số phần tử của tập S là

A. 18. B. 20 . C. 21. D. 19. Lời giải Chọn B

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 3

Đặt:

2 sin 3 x t  , do x suy ra

2 sin 0 1 3 3 ;3 [1;3] x t       

Khi đó :

2 2

2 1 cos 2 sin

sin

9 9 3 3

3

x x

x t

    

Bất phương trình trở thành: 2 9 (2 1) 4 9(2 1) 4 t m m t t t         [1;3] t 

Do đó:

      2

1;3 1;3 9(2 1) max ( ( )) max 4 2 4 t t m f t t t f        

Suy ra: 13 9(2 1) 4 1 20 18 m m m      

Vậy có 20 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 5. Tìm tất cả các tham số m để bất phương trình  

2 2 4 4 8 2 2 2 4 2 2 2 2 x x m x x m x x        nghiệm

đúng với mọi x.

A. 1 8 m  . B. 1 8 m  . C. 3 8 m  . D. 1 7 m  .

Lời giải Chọn A

Ta có :    

2 2 2 2 4 4 8 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 x x m x x m x x m x x m x x x x              

Để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x , trước hết bất phương trình phải xác định trên

.Suy ra  

2 2 1 1 2 0, , min 2 2 8 x x x x x m x m g x x m g x g                       

Khi đó yêu cầu bài …