Bài giảng hàm số mũ và hàm số lôgarit Toán 11 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

6

Chương

HÀM SỐMŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

§1. LŨY THỪA VỚI SỐMŨ THỰC

TÓM TẮT LÍ THUYẾT A

1. Lũy thừa với sốmũ nguyên

Định nghĩa 1.1. Cho n là một sốnguyên dương. Ta định nghĩa

Ì Với a là sốthực tùy ý an = a · a · · · a | {z } n thừa sốa .

Ì Với a là sốthực khác 0

a0 = 1; a−n = 1

an .

Trong biểu thức an, a gọi là cơ số, n gọi là sốmũ.

Lũy thừa với sốmũ nguyên có tính chất tương tựnhư lũy thừa với sốmũ nguyên dương.

Tính chất 1.1. Với a ̸= 0, b ̸= 0 và m, n là các sốnguyên, ta có

Ì am · an = am+n;

Ì am

an = am−n;

Ì (am)n = amn;

Ì (ab)n = anbn;

Ì

a

b

n = an

bn .

o Ì Nếu a > 1 thì am > an khi và chỉkhi m > n.

Ì Nếu 0 < a < 1 thì am > an khi và chỉkhi m < n.

Ví dụ1

Tính giá trịcủa biểu thức A = Å1

2

ã−8 · 8−2 + (0,2)−4 · 25−2.

b Lời giải.

A = Å1

2

ã−8 · 8−2 + (0,2)−4 · 25−2

= 28 · 1

82 + 1 0,24 · 1

252

LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131

1. LŨY THỪA VỚI SỐMŨ THỰC Trang 133

= 28 · 1

26 + 1 0,24 · 54

= 22 + 1

(0,2 · 5)4

= 4 + 1 = 5.

□

Ví dụ2

Một sốdương x được gọi là viết dưới dạng kí hiệu khoa học nếu x = a · 10m, ởđó 1 ≤a < 10 và m là sốnguyên. Hãy viết các sốliệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg;

b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 67262 kg.

b Lời giải.

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5 980 000 000 000 000 000 000 000 = 5,980 · 1024 kg;

b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 67262 = 1,67262· 10−27

kg.

□

2. Lũy thừa với sốmũ hữu tỉ

Định nghĩa 1.2. Cho sốthực a và sốnguyên dương n. Sốb được gọi là căn bậc n của sốa nếu bn = a.

o Khi n là sốlẻ, mỗi sốthực a chỉcó một căn bậc n và kí hiệu là n√a. Căn bậc 1 của sốa chính là a. Khi n là sốchẵn, mỗi sốthực dương có đúng hai căn bậc n là hai sốđối nhau, giá trịdương kí hiệu là n√a (gọi là căn sốhọc bậc n của a), giá trịâm kí hiệu là −n√a.

Ví dụ3

Tính

a) 3√−64; b)

4 …

1 16.

b Lời giải.

a) 3√−64 = 3p

(−4)3 = −4.

b)

4 …

1 16 = 4 Å1

2

ã4 = 1

2.

□

Tính chất 1.2. Giảsửn, k là các sốnguyên dương, m là sốnguyên. Khi đó

LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131

Chương 6. HÀM SỐMŨ VÀ HÀM SỐLÔGARIT 134 Trang

Ì n√a · n√

b = n√

ab;

Ì

n√a

n√

b = n …a

b;

Ì n√a m = n√

am;

Ì n√

an =

đa khi n lẻ

|a| khi n chẵn;

Ì np

k√a = nk√a.

Giảthiết các biểu thức ởtrên đều có nghĩa.

Ví dụ4

Tính

a)

5√

4 · 5√−8; b)

3p

−3 √

3.

b Lời giải.

a)

5√

4 · 5√−8 = 5√4 · (−8) = 5√−32 = 5p

(−2)5 = −2.

b)

3p

−3 √

3 = 3 …

− Ä√

3 ä3 = 3 …Ä − √

3 ä3 = − √

3.

□

Định nghĩa 1.3. Cho sốthực a dương và sốhữu tỉr = m

n , trong đó m là một sốnguyên và n là

sốnguyên dương. Lũy thừa của a với sốmũ r, kí hiệu ar, xác định bởi

ar = a m

n = n√

am.

o Lũy thừa với sốmũ hữu tỉ(của một sốthực dương) có đầy đủcác tính chất như lũy thừa với sốmũ nguyên.

Ví dụ5

Tính

a) 16 3 2; b) 8 −2

3 .

b Lời giải.

a) 16 3 2 = √

163 = p

(42)3 = p

(43)2 = 43 = 64.

b) 8 −2

3 = 3√

8−2 = 3» 23 −2 = 3» 2−2 3 = 2−2 = 1

4.

□ 3. Lũy thừa với sốmũ thực

Khái niệm 1.1. Cho a là sốthực dương và α là một sốvô tỉ. Xét dãy sốhữu tỉ(rn) mà lim n→+∞rn =

α. Khi đó, dãy số(arn) có giới hạn xác định và không phụthuộc vào dãy sốhữu tỉ(rn) đã chọn. Giới hạn đó gọi là lũy thừa của a với sốmũ α, kí hiệu là aα.

aα = lim n→+∞arn.

o Lũy thừa với sốmũ thực (của một sốdương) có đầy đủtính chất như lũy thừa với sốmũ nguyên.

LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131