Chuyên đề nguyên lý cực hạn - Huỳnh Kim Linh

Chuyên đề: Nguyên Lý Cực Hạn

- 1 -

Chuyên đề

Nguyên lý Cực hạn

Huỳnh Kim Linh

GV Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Khánh Hòa

Lời giới thiệu

Tổ hợp là một lĩnh vực không thể thiếu trong Toán học, nó thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi các cấp. Khác với các bài toán trong lĩnh vực Giải tích, Đại số, Lượng giác, ... các bài toán Tổ hợp thường liên quan đến các đối tượng là các tập hợp hữu hạn. Chính vì thế các bài toán này thường mang những nét đặc trưng riêng của Toán học rời rạc.

Nguyên lí cực hạn hay còn gọi là nguyên lí khởi nguồn cực hạn có phát biểu khá đơn giản : Một tập hợp hữu hạn (khác rỗng) các số thực bất kì đều có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất. Nhờ có nguyên lí này ta có thể xét các phần tử của một đại lượng nào đó có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, chẳng hạn:

- Xét đoạn thẳng lớn nhất (nhỏ nhất) trong một số hữu hạn đoạn thẳng. - Xét góc lớn nhất (nhỏ nhất) trong một số hữu hạn góc . - Xét đa giác có diện tích hoặc chu vi lớn nhất (nhỏ nhất) trong một hữu hạn đa giác. - Xét khoảng cách lớn nhất (nhỏ nhất) trong một số hữu hạn khoảng cách giữa hai điểm hoặc khoảng cách từ một điểm đến một khoảng cách. - Xét các điểm là đầu mút của một đoạn thẳng, xét các điểm ở phía trái nhất hoặc ở phía phải nhất của đoạn thẳng.

Chuyên đề: Nguyên Lý Cực Hạn

- 2 -

Chúng ta sẽ tìm hiểu về những ứng dụng của phương pháp này trong các bài toán Hình học, Đại số, Số học, … Trong Hình học, chúng ta sẽ áp dụng vào các Đại lượng đa dạng như độ dài các cạnh, đại lượng góc, khoảng cách đoạn thẳng,…. Còn trong Đại số và Số học, Đại lượng cực hạn là số nhỏ nhất, số lớn nhất,….

Nội dung gồm 4 phần

Phần 1. MỘT SỐ VÍ DỤ MỞ ĐẦU

Phần 2. NGUYÊN LÍ CỰC HẠN TRONG HÌNH HỌC

2.1. Góc lớn nhất hoặc góc nhỏ nhất

2.2. Khoảng cách lớn nhất hoặc nhỏ nhất

2.3. Diện tích và chu vi lớn nhất hoặc nhỏ nhất

2.4. Bao lồi và đường thẳng tựa

2.5. Bài tập

Phần 3. SỬ DỤNG NGUYÊN LÍ CỰC HẠN TRONG ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC

3.1. Các bài toán số học

3.2. Các bài toán đại số

3.3. Bài tập

Phần 4. NGUYÊN LÍ THỨ TỰ TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN

4.1 Nguyên lí thứ tự

4.2 .Nguyên lí quy nạp toán học

4.3 Sự tương đương giữa hai nguyên lí

Dù cố gắng nhiều nhưng chuyên đề không tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp từ các thầy, cô giáo và các em học sinh.

Hi vọng rằng chuyên đề này sẽ giúp các bạn bớt khó khăn khi nghiên cứu Tổ hợp, đồng thời giúp các bạn tìm thấy vẻ đẹp sáng tạo của Toán học khi giải loại toán này.

Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn với những đóng góp ý kiến bổ ích.

Chuyên đề: Nguyên Lý Cực Hạn

- 4 -

Phần 1. MỘT SỐ VÍ DỤ MỞ ĐẦU :

Ví dụ 1.Cho n điểm xanh và n điểm đỏ, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.

Chứng minh rằng ta có thể nối 2n điểm này bằng n đoạn thẳng có đầu mút khác màu

sao cho chúng đôi một không giao nhau.

Lời giải. Với mỗi cách nối 2n điểm bằng n đoạn thẳng xanh - đỏ, ta tính tổng

độ dài các đoạn thẳng được nối. Do số cách nối là hữu hạn nên tồn tại cách

nối có tổng độ dài nói trên là nhỏ nhất.Ta sẽ chứng minh cách nối này thỏa

mãn yêu cầu bài toán.

Ta giả sử ngược lai, tồn tại 2 đoạn thẳng cắt nhau, giả sử các đoạn thẳng

đó là AB và CD giao nhau tại điểm O (A, C màu đỏvà B, D màu xanh )

Ta có : AD < OA + OD (Bất đẳng thức tam giác)

BC < OB + OC (Bất đẳng thức tam giác)

Suy ra : AD + BC < AB + CD

Do đó : nếu ta giữ nguyên n - 2 đoạn nối còn lại và thay AB, CD bằng

AD, BC thì tổng các đoạn nối của cách nối mới nhỏ hơn cách nối của chúng

ta.Trái với giả thiết. Vậy :Tồn tại cách nối 2n điểm bằng n đoạn thẳng xanh -

đỏ sao cho chúng không cắt nhau.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng không tồn tại số lẻ n,sao cho 15n +1 chia hết n .

Lời giải. Với n > 1, ta giả sử p là ước số nguyên tố lẻ nhỏ nhất của n và k là số

nguyên dương nhỏ nhất sao cho 15k -1 chia hết cho p.

Vì 152n - 1 =(15n - 1)(15n +1) chia hết cho n nên 152n - 1 chia hết cho p.

Như vậy (15, p) =1 và theo định lí Fermat, ta có 15p-1 -1 chia hết cho p. Theo đề

bài, ta suy ra k là ước số của p - 1 và 2n.

Ta …