Tài liệu ôn thi Giải tích 12 học kỳ 2 - Trần Thông

Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II

Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam

TÀI LIỆU ÔN TẬP HỌC KỲ II

LỚP 12- NĂM HỌC 2016-2017

MÔN: GIẢI TÍCH

Quảng Nam, tháng 2 năm 2017

Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II

Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam

A. TÍCH PHÂN PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.Nguyên hàm

1.Định nghĩa. Cho hàm số ( ) f x xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số ( ) F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K, nếu '( ) ( ) F x f x  , với mọi x K  .

Định lý. Giả sử ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên khoảng K. Khi đó

a. Với mỗi hằng số C, hàm số ( ) ( ) G x F x C   cũng là một nguyên hàm của ( ) f x .

b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của ( ) f x thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C.

c. Họ tất cả các nguyên hàm của ( ) f x là ( ) ( ) f x dx F x C    , trong đó ( ) F x là một

nguyên hàm của ( ) f x , C là hằng số bất kỳ.

d. Bảng các nguyên hàm cơ bản.

Nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thƣờng gặp Nguyên hàm của hàm số hợp ( ) u u x 

, kdx kx C k R     , kdu ku C k R    

1 1 . ( 1) 1 x dx x C    

      1 1 . ( 1) 1 u du u C    

     

ln dx x C x    ( 0 x  ) ln du u C u    ( 0 x  )

2 dx x C x

   2 du u C u

  

x x e dx e C    u u e du e C   

(0 1). ln

x x a a dx C a a      (0 1). ln

u u a a du C a a     

cos sin xdx x C    cos sin udu u C   

sin cos xdx x C    sin cos udu u C   

2 tan cos

dx x C x    ; 2 cot sin

dx x C x    . 2 tan cos

du u C u    ; 2 cot sin

du u C u   

Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II

Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam

Ngoài ra còn một số công thức thƣờng gặp là.

1 1 ) 1 1 ( ) ,( 0, 1); ln , 0. 1 1 1 ; ( ) sin( )

1 sin( ) ( )

ax ax

(ax ax ax ax

os ax ax

ax os ax

k k

b b

b b dx C a k dx b C a a k b a

e dx e C c b dx b C a a

b dx c b C a



 

           

     

   

 

 



2. Một số tính chất của nguyên hàm

Định lý. Nếu ( ), ( ) F x G x tương ứng là một nguyên hàm của ( ), ( ) f x g x thì

a. '( ) ( ) f x dx f x C   

b. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx F x G x C          ;

c. ( ) ( ) ( 0) a.f(x)dx aF a f x dx x C a       .

3. Một số phƣơng pháp đổi nguyên hàm

a. Phƣơng pháp đổi biến số

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số ( ) u u x  có đạo hàm liên tục trên K và hàm số (u) y f  liên tục sao cho [ ( )] f u x xác định trên K. Khi đó

nếu F là một nguyên hàm của f, tức là ( ) ( ) f u du F u C    thì

[ ( )]dx=F[ ( )]+C f u x u x  .

b. Phƣơng pháp tích phân từng phần

Một số dạng thƣờng gặp:

Dạng 1. ax ( ). , ( )sin(ax ) , ( )cos(ax ) b P x e dx P x b dx P x b dx      

Cách giải: Đặt ax ( ), ( sin( ) , cos( ) ) b u P x dv e dx dv ax b dx dv ax b dx       

Dạng 2. ( )ln(a ) P x x b dx  

Cách giải: Đặt ln( ), ( ) . ax u b dv P x dx    II. Tích phân 1.Định nghĩa Cho hàm ( ) f x liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x thì hiệu số ( ) ( ) F b F a  được gọi là tích phân của ( ) f x từ a đến b

và ký hiệu là ( )

b

a

f x dx  . Trong trường hợp a b  thì ( )

b

a

f x dx  là tích phân của f trên   ;a b .

2.Tính chất Cho các hàm số ( ), ( ) f x g x liên tục trên K và , , a b c là ba số thuộc K.