Đề cương HK2 Toán 12 năm 2020 - 2021 trường chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa

ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021

1

PHẦN 1. ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ CHỦ ĐỀ I. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa Cho là hàm số liên tục trên đoạn Giả sử là một nguyên hàm của trên Hiệu số

được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn của hàm số kí hiệu là

Ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số . Vậy .

2. Tính chất của tích phân

1. 2.

3. ( ) 4.

5. .

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số

Phương pháp 1: Cho hàm số  f x liên tục trên đoạn   ;a b . Để tính 

b

a

f x dx  , đôi khi ta chọn hàm số

 u u x  làm biến số mới, trong đó trên đoạn   ;a b ,  u x có đạo hàm liên tục và   ; u x   .

Giả sử có thể viết        ' , ; f x g u x u x x a b   , với  g u liên tục trên đoạn   ; . Khi đó

 



 u b b

a u a f x dx g u du    .

Phương pháp 2: Cho hàm số  f x liên tục trên đoạn  ;a b . Giả sử hàm số  x t   có đạo hàm liên tục trên

đoạn  

 * ;  sao cho   ,a b     và  a t b    với   ; t   . Khi đó

     '

b

a

f x dx f t t dt





     .

(*) Nếu   thì ta xét đoạn   ; . 2. Phương pháp tích phân từng phần Định lí: Nếu hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên   ;a b thì

     ' '

b b b

a a a u x v x dx u x v x u x v x dx    

Hay

.

b b b

a a a udv uv vdu    

II. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 1. Tính diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  liên tục trên đoạn   ;a b , trục hoành và hai đường thẳng x a  , x b  được tính theo công thức

f [ ; ]. a b F f [ ; ]. a b ( ) ( ) F b F a 

[ ; ] a b ( ), f x ( ) .

b

a

f x dx 

( ) ( ) ( ) b a F x F b F a   ( ) ( ) F b F a  ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dx F x F b F a    

( ) 0

a

a

f x dx   ( ) ( )

b a

a b f x dx f x dx   

( ) ( ) ( )

b c c

a b a f x dx f x dx f x dx      a b c   . ( ) . ( ) ( )

b b

a a k f x dx k f x dx k     

[ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx      

 u u x   v v x 

ÔN TẬP MÔN TOÁN KHỐI 12 HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2020 - 2021

2

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  1 y f x  ,  2 y f x  liên tục trên đoạn   ;a b và hai đường thẳng x a  , x b  được tính bởi công thức

 





1

2 :

y f x

y f x H

x a x b

       

Chú ý

- Nếu trên đoạn [ ; ] a b , hàm số ( ) f x không đổi dấu thì: ( ) ( )

b b

a a f x dx f x dx    .

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay a. Thể tích vật thể Cắt một vật thể  V bởi hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại x a  , x b   . a b 

Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x   a x b   cắt  V theo thiết diện có diện tích ( ) S x (hình vẽ). Giả sử ( ) S x là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b . Khi đó, thể tích V của vật thể  V được tính bởi công thức

b. Thể tích khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  , trục hoành và hai đường thẳng x a  , x b  quanh trục Ox:

Chú ý: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x  , ( ) y g x 

( ): ( )

( ):

       

C y f x

Ox y 0 x a x b

 

2 ( )

b

x

a V f x dx  a

 ( ) y f x

y

O b x