Lí thuyết số (chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THPT) - Trần Quang Thọ

1 | P a g e

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HẬU GIANG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VỊ THANH

TỔ TOÁN

NĂM HỌC 2020 - 2021

LÍ THUYẾT SỐ

(Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi)

GV: Trần Quang Thọ

2 | P a g e

CHUYÊN ĐỀ. LÍ THUYẾT SỐ

PHẦN MỞ ĐẦU

Số học hay đa thức đều là các chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp

quốc gia, các kì thi khu vực cũng như quốc tế với các bài toán khó tới rất khó được các nước cũng

như các thầy cô phát triển rất nhiều. Đa thức là mảng mà chứa đựng trong nó các yếu tố về đại số,

giải tích, hình học và cả các tính chất về số học. Chính vì thế ta có thể’ xem đa thức có thể’ xem

như là các bài toán tổ hợp giữa các mảng khác của Toán học cũng như đóng vai trò liên kết các

mảng đó lại với nhau thành một thể’ thống nhất. Điều lí thú là nhiều mệnh đề khó nhất của số học

được phát biểu rất đơn giản, ai cũng hiểu được ; nhiều bài toán khó nhưng có thể giải rất sáng tạo

với những kiến thức số học phổ’ thông đơn giản. Không ở đâu như trong số học,chúng ta lại có thể’

lần theo được dấu vết của những bài toán cổ xưa để’ đến được với những vấn đề mới đang còn chờ

đợi người giải - Trích từ cuốn sách Số học - Bà chúa của toán học - Hoàng Chúng. Chính vì thế sự

kết hợp của 2 mảng kiến thức này sẽ mang tới cho chúng ta những bài toán đẹp nhưng vẻ đẹp thì

không bao giờ là dễ để chúng ta chinh phục cả, nó luôn ẩn chứa những điều khó khăn và "nguy

hiểm". Trong chủ đề của bài viết này, chúng ta sẽ đi khám phá cũng như chinh phục phần nào vẻ

đẹp của sự kết hợp đó.

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Số chính phương

- Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên

- Số chính phương

2 n tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Số nguyên tố - Hợp số

- Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1 và chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.

- Các số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,

89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191,

193, 197, 199, ….

Nếu số nguyên a > 1 và không chia hết cho số nguyên tố a  thì a nguyên tố

- Số nguyên lớn hơn 1, không phải số nguyên tố gọi là hợp số.

- Phân tích số tự nhiên m lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất 1 2 k 1 2 k m p .p ...p    

3 | P a g e

- Số các ước nguyên dương của m là      1 2 k d m 1 1 ... 1       

- Tổng các ước nguyên dương của m là  

1 2 k 1 1 1 1 2 k

1 2 k

p 1 p 1 p 1 m . ... p 1 p 1 p 1

   

         

Số nguyên tố cùng nhau – Số nguyên – Số hữu tỉ

- Nếu hai số nguyên a, b trong đó có ít nhất một khác 0 thì ƯCLN d = (a, b), (a, b) = ax + by với x, y

nguyên, (a, b) = (a, a  b) và BCNN   m a,b  thì    a,b . a,b a.b  , m m , 1 a b      

- Nếu (a, b) = 1 thì a và b nguyên tố cùng nhau. Nếu (a, b) = 1 thì   n n a ,b 1 .

- Các số nguyên dương a và b nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên x và y sao

cho: ax + by = 1.

- Hàm Ơle   m  : các số bé hơn số nguyên dương m và nguyên tố cùng nhau với m.

Nếu 1 2 k 1 2 k m p .p ...p     thì  

1 2 k

1 1 1 m m 1 1 ... 1 p p p                    

Nếu m = p nguyên tố thì  p p 1   

Nếu (a, b) = 1 thì    ab a . b   

- Số hữu tỉ có dạng

* m p ,m Z,n N n   

Phần nguyên – phần lẻ

- Phần nguyên của số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, kí hiệu [x], nghĩa là

  x x x 1   

- Nếu x = m + r với m nguyên và 0 r 1  thì [x] = m và r gọi là phần lẻ, r = {x}.

- Nếu n nguyên thì [n + x] = n + [x] với mọi x

Chứng minh chia hết

- Phép chia số nguyên a cho số nguyên b  0: a = b.q + r với thương q nguyên và dư r nguyên thỏa

0 r b   . Nếu r = 0 thì số nguyên a chia hết cho số nguyên b0 (b chia hết a, a là bội số của b, b

là ước của a), kí hiệu a b hay b a .

- Dấu hiệu chia hết cho 2 là số chẵn; cho 5 là chữ số tận cùng 0, 5; cho 4 (hoặc 25) là hai chữ số tận

cùng 4 (hoặc 25); cho 8 (hoặc 125) là ba chữ số tận cùng 8 (hoặc 125); cho 3 (hoặc) 9 là tổng các

chữ …