Phương pháp thế và sử dụng tính chất ánh xạ giải toán phương trình hàm trên R

Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

CHUYÊN ĐÊ 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 1 |

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

PHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ÁNH XẠ

TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN Trong chương trình chuyên toán ở các trường THPT chuyên Phương trình hàm là một chuyên đề quan trọng. Hiện nay tài liệu về phương trình khá phong phú. Tuy vậy, việc giải được phương trình hàm vẫn là vấn đề khó đối với nhiều học sinh. Trong chuyên đề nhỏ này, chúng tôi sẽ trình bày hai phương pháp thông dụng và quan trọng để giải phương trình hàm trên tập . Đó là Phương pháp thế và Phương pháp sử dụng tính chất ánh xạ.

I. Phương pháp thế trong giải phương trình hàm 1. Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp thế

Quan sát cấu trúc của phương trình xem giữa các biến có tính đối xứng không? Nếu trong phương trình có tính đối xứng giữa x và y thì ta thường hoán vị các biến này cho nhau.

Thay các biến bởi các giá trị thích hợp thoả mãn các điều kiện bài toán. Điều cần chú ý là các giá trị của biến phải thuộc tập xác định của hàm số. Ta thường chọn giá trị cho biến sao cho sau khi thay ta thu được một phương trình hàm đơn giản hơn hoặc có thể nhận được dạng của hàm số (tuyến tính, bậc hai, mũ, logarit,…). Trong trường hợp f cộng tính ta có thể thay x bởi 1 x + và quy giá trị hàm số về

( )1 . f

Một vài phép thế đặc biệt: 0, 1; 0, 0, 1, 1, , ( ),... x y x y x y x y x y x f y = = = =  = = = = =  = 

Tính các giá trị đặc biệt của hàm số ( ) f x , chẳng hạn: ( ) . 0 , ( .. 1) f f 

2. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số f thoả mãn điều kiện: ( ) 0 2 f = và ( ) ( ) , f x y f y x + = + , . x y  

Tính ( ) 1998 . f

Lời giải: Giả sử tồn tại hàm f thoả mãn điều kiện đề bài. Cho 0 y = , ta có ( ) (0) 2 , f x f x x = + = + . x 

Thử lại thấy thoả mãn. Do đó: (1998) 2 1998 2000 f = + =

Ví dụ 2: (Australia 1995) Tìm tất cả các hàm ( ) : 0; f +→ thoả mãn các điều kiện ( ) 1 1 2 f = và

( ) ( ) ( ) 3 3 f xy f x f f y f y x     = +        

, , 0. x y   (1)

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN

1 Chuyên đề

Tài liệu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

2 | C CHUYÊN ĐÊ: PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Lời giải:

Cho 1, 3 x y = = thay vào (1) ta được:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 1 1 1 3 3 3 0 3 4 2 2 f f f f   = +  − =  =    

,x y +  

Thay 1 x = vào (1) ta được: ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 2 2 f y f f y f f y y y     = + → =        

y + 

Khi đó (1) trở thành: ( ) ( ) ( ) 2 f xy f x f y = ,x y +   (2)

Thay y bởi 3 x vào (2) ta có: 2 1 ( ) 3 1 2 (3) 2 ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) 2

f x f f x f f x x f x

 =    = → =       = − 

Thay y x = vào (2) có: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 2. , 0 4 2 2 f x f x f x x = = = → = 

Thử lại thấy thoả mãn. Ví dụ 3: (Nhật Bản 2012)Tìm tất cả các hàm số : f → sao cho:

2 ( ( ) ( )) (y) f f x y f x y x yf + − = − ,x y   (1)

Lời giải:

Từ (1) cho 0 x y = = ta thu được 2 ( (0)) 0. f f = Từ (1) cho ( ) 2 0, 0 , x y f = = kết hợp với kết quả

( ) ( ) 2 0 0 f f = ta thu được ( ) 0 0. f =

Từ (1) cho x y = có:

2 ( ) 0 ( ) x xf x f x x − =  = , 0. x 

Hơn nữa ( ) 0 0 f = , suy ra: ( ) , f x x = . x  Thử lại ta thấy thoả mãn.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các hàm số : f → thoả mãn: ( ( ) ) ( ) f xf y x xy f x + = + ,x y   (1)

Lời giải:

Trong (1) thay 1 x = , ta được ( ( ) 1) (1) f f y y f + = + , y  (2)

Trong (2) thay y bởi: ( ) 1 1 f −− ta có: ( ) 1 1 ( ( ) 1 )1 f f f −− + = −

Đặt: ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ; 0 f f a f b + −− = =

Ta có: ( ) ( ) ( ) 0 . f xf a x f b + = = Hay: ( ) ( ) ( ) ( ) b f xf a x ax f x f x ax b = + = + = − ⎯→ + ⎯

Thay biểu thức của ( ) f x vào (1) ta được: ( ( ) ) , a xf y x b xy ax b − + + = − + ,x y  

  ( ) , a x ay b x b xy ax b − − + + + = − + ,x y  

2 , a xy abx ax b xy ax b  − − + = − + ,x y  

Bằng cách đồng nhất các hệ số ta được:

2 1 0 1

1

0

a b a

ab a a a

b

 =    =  =      + = = −   =  

Vậy ( ) , f x x = x  và ( ) , f x x = − . x  Thử lại thấy thoả mãn.

Ví dụ 5: (Serbia 2014, Đồng Nai 2018) Xác định tất cả các hàm số : f → thỏa mãn