Hướng dẫn giải các dạng toán phép biến hình

CHƯƠNG6 PHÉP BIẾN HÌNH

BÀI1. MỞĐẦU VỀPHÉP BIẾN HÌNH

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa Phép biến hình là một quy tắc đểứng với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, ta xác định được một điểm duy nhất M′ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M′ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.

2 Kí hiệu và thuật ngữ Cho phép biến hình F. — Nếu M′ là ảnh của điểm M qua F thì ta viết M′ = F(M). Ta nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M′. — Nếu H là một hình nào đó thì H′ = {M′|M′ = F(M),M ∈H} được gọi là ảnh của hình H qua F. Kí hiệu là H′ = F(H).

3 Phép dời hình Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Phép dời hình biến — ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứtựba điểm đó. — đường thẳng thành đường thẳng. — tia thành tia. — đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho. — tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. — đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính với đường tròn ban đầu. — góc thành góc bằng góc ban đầu.

BÀI2. PHÉP TỊNH TIẾN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa Định nghĩa 1. Trong mặt phẳng cho vectơ #»v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M′ sao cho # » MM′ = #»v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ #»v .

Phép tịnh tiến theo vectơ #»v thường được kí hiệu là T#»v , #»v được gọi là vectơ tịnh tiến.

T#»v (M) = M′ ⇔# » MM′ = #»v .

2 Tính chất Tính chất 1. Nếu T#»v (M) = M′, T#»v (N) = N′ thì # » M′N′ = # » MN và từđó suy ra M′N′ = MN.

Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3 Biểu thức tọa độcủa phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng tọa độOxy cho vectơ #»v = (a;b). Với mỗi điểm M(x; y) ta có M′(x′; y′) là ảnh của M qua

phép tịnh tiến theo vectơ #»v . Khi đó # » MM′ = #»v ⇔

( x′ −x = a

y′ −y = b. Từđó suy ra

( x′ = x+ a

y′ = y+ b.

Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độcủa phép tịnh tiến T#»v .

287

288 CHƯƠNG 6. PHÉP BIẾN HÌNH

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{ DẠNG 2.1. Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến

Phương pháp giải: Gọi H′ là ảnh của hình H qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v = (a;b). Với mọi điểm M(x; y) bất kì thuộc H, ta có T#»v (M) = M′(x′; y′) ∈H′. ( x′ = x+ a

y′ = y+ b ⇒

( x = x′ −a

y = y′ −b ⇒M(x′ −a; y′ −b)

Thay tọa độđiểm M vào phương trình biểu diễn hình H ta thu được phương trình biểu diễn hình H′.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ1. Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho #»v = (2;1) và điểm M(3;2). Tìm tọa độđiểm A sao cho

A = T#»v (M). ĐS: A(5;3) 1 M = T#»v (A). ĐS: A(1;1) 2

Lời giải.

GiảsửA(x; y) ta có A = T#»v (M) ⇒

( x = 3+2

y = 2+1 ⇒

( x = 5

y = 3 ⇒A(5;3). 1

Gọi A(x; y), ta có M = T#»v (A) ⇒

( 3 = x+2

2 = y+1 ⇒

( x = 1

y = 1 ⇒A(1;1). 2

□

VÍ DỤ2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d. Hãy tìm ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v .

1 d: 2x−3y+12 = 0 và #»v = (4;−3). ĐS: 2x−3y−5 = 0

2 d: 2x+ y−4 = 0 và #»v = # » AB, A(3;1), B(−1;8). ĐS: 2x+ y−3 = 0

Lời giải. Gọi d′ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc-tơ #»v ; M(x; y) là một điểm bất kì trên đường thẳng d và M′(x′; y′) = T#»v (M). Khi đó

( x′ = x+4

y′ = y−3 ⇒

( x = x′ −4

y = y′ +3 ⇒M(x′ −4; y′ +3). Mà điểm M thuộc đường thẳng d nên

2(x′ −4)−3(y′ +3)+12 = 0 ⇔2x′ −3y′ −5 = 0.

Suy ra phương trình đường thẳng d′ là 2x−3y−5 = 0.

1

Ta có #»v = # » AB = (−4;7). Do đó

( x′ = x−4

y′ = y+7 ⇒

( x = x′ +4

y = y′ −7 ⇒M(x′ +4; y′ −7).

Mà điểm M thuộc đường thẳng d nên

2(x′ +4)+ y′ −7−4 = 0 ⇔2x′ + y′ −3 = 0

Suy ra phương trình đường thẳng d′ là 2x+ y−3 = 0.

2

□

VÍ DỤ3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C). Hãy tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến #»v , biết

(C): (x−4)2 +(y+3)2 = 6 và #»v = (3;2). ĐS: (x−7)2 +(y+1)2 = 6 1

(C): x2 + y2 +4x−4y−1 = 0 và #»v = # » AB với A(−1;1), B(1;−2). ĐS: x2 + y2 +2y+16 = 0 2