Tài liệu chủ đề phép quay

Trang 1

CHỦ ĐỀ PHÉP QUAY

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Định nghĩa

Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M thành

điểm Msao cho OM OM  và góc lượng giác   ; OM OM bằng được gọi là phép quay tâmO góc .

– Điểm O được gọi là tâm quay, được gọi là góc quay của phép quay đó.

– Phép quay tâm O góc thường được ký hiệu là   ; O Q .

Nhận xét

– Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều

quay của kim đồng hồ.

– Với k là số nguyên ta luôn có:

Phép quay   ;2 O k Q là phép đồng nhất.

Phép quay     ; 2 1 O k Q   là phép đối xứng tâm O .

2) Các tính chất của phép quay

Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng

nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

3) Biểu thức tọa độ của phép quay

Xét phép quay tâm O , góc quay biến điểm     ; ; M x y M x y    

Khi đó ta có công thức tính tọa độ của ảnh Mlà .cos .sin .sin .cos x x y y x y    

     

.

Trang 2

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ảnh của điểm   2;1 M qua phép quay tâm O góc quay 45là điểm

  ; M a b  . Khi đó a b  bằng:

A. 2 . B. 2 2 . C. 3 2 . D. 2  .

Lời giải:

Ta có:   2;1 M 2 cos

5    26,56    

Gọi   ; M a b  thì    

cos 45

sin 45

a OM

b OM





       

Trong đó  2 arccos

5  ; '  OM OM 5  

1

2 3

2

a

b

   

Do đó 1 3 ; 2 2 M      

 2 2 a b   . Chọn B.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ảnh của điểm   3; 1 M  qua phép quay tâm O góc quay 60  là

điểm   ; M a b  . Khi đó a b  gần bằng giá trị nào nhất trong các giá trị sau:

A. 3. B. 4 . C. 3 . D. 4 .

Lời giải:

Ta có:   3;1 M  3 cos

10    18,43    

Gọi   ; M a b  thì    

cos 60

sin 60

a OM

b OM





       

Trong đó  3 arccos

10  ; '  OM OM 10   0,63

3,1

a

b

   

Do đó 2,7 a b   . Chọn C.

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ảnh của điểm   3;2 M  qua phép quay tâm O góc quay 60là

điểm   ; M a b  . Khi đó a b  gần bằng giá trị nào nhất trong các giá trị sau:

A. 5. B. 4 . C. 4 . D. 5 .

Lời giải:

Trang 3

Ta có   3;2 M  2 cos

13    56,3    

Suy ra 180 60 120        

Gọi   ; M a b  thì    

sin 120

cos 120

a OM

b OM





       

Trong đó  2 arccos

13  ; '  OM OM 13 

 3,2 1,6 a b

   

Do đó 4,8 a b   . Chọn D.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ảnh của điểm   3;5 M qua phép quay tâm O góc quay 90là

điểm   ; M a b  . Tính a b .

A. 2 a b   . B. 8 a b  . C. 8 a b   . D. 2 a b  .

Lời giải:

Hình chiếu của M lên các trục tọa độ là   3;0 H và   0;5 K

Qua phép quay tâm O góc quay 90điểm H và K lần lượt biến thành các điểm   0;3 H và   5;0 K

Suy ra   5;3 M  Chọn B.

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng 3 1 0 x y    d , ảnh của đường thẳng d qua

phép quay tâm O góc quay 90  là:

A. 3 3 0 x y    B. 3 1 0 x y   C. 3 3 0 x y    D. 3 1 0 x y  

Lời giải:

Qua phép quay tâm O góc quay 90  đường thẳng d biến thành đường thẳng d d 

Suy ra   3;1 dn  

Đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm   1;0 H 

Qua phép quay tâm O góc quay 90  điểm   1;0 H  biến thành điểm   0;1 H

Do đó :3 1 0 d x y    Chọn B.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm   1;2 M . Điểm   ; M a b  là ảnh của điểm M qua phép

quay tâm O , góc 30. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. 3 1; 2 a b      

. B. 1 ;1 2 a b      

. C. 5 2; 2 a b      

. D. 3;2 2 a b      

.

Lời giải: