Vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc - Trần Quốc Nghĩa

GV. TR GV. TR GV. TR GV. TRẦN QU N QU N QU N QUỐC NGH C NGH C NGH C NGHĨA ĨA ĨA ĨA 1

VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Vấn đề 1. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

I. Véctơ trong không gian

① Véctơ, giá và độ dài của véctơ.

 Véctơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB

chỉ véctơ có điểm đầu A , điểm cuối B . Véctơ còn được kí hiệu a , b

, c , …  Giá của véctơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véctơ đó. Hai véctơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Ngược lại, hai véctơ có giá cắt nhau được gọi là hai véctơ không cùng phương. Hai véctơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.  Độ dài của véctơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của

véctơ. Véctơ có độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơn vị. Kí hiệu độ dài véctơ AB

là AB

Như vậy: AB AB BA = =

.

② Hai véctơ bằng nhau, đối nhau. Cho hai véctơ a , b

(≠ 0

)

 Hai véctơ a và b

được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.

Kí hiệu a b =

và | | | |

a b a b a b

 = ⇔ = 

cuøng höôùng

 Hai véctơ a và được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.

Kí hiệu a b = −

và | | | |

a b a b a b

 = ⇔ = 

cuøng höôùng

③ Véctơ – không. Véctơ – không là véctơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu: 0

, ... 0 AA BB CC = = = =

. Véctơ – không có phương, hướng tùy ý, có độ dài bằng không. Véctơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi véctơ. II. Phép cộng và phép trừ véctơ

① Định nghĩa 1.

 Cho a và b

. Trong không gian lấy một điểm A tùy ý, dựng AB a = , BC b =

. Véctơ AC

được gọi là tổng của hai véctơ a và b

và được kí hiệu AC AB BC a b = + = + .

 ( ) a b a b − = + −

② Tính chất 1.

 Tính chất giao hoán: a b b a + = +  Tính chất kết hợp: ( ) ( ) a b c a b c + + = + +

 Cộng với 0

: 0 0 a a a + = + =  Cộng với véctơ đối: ( ) 0 a a a a + − = −+ =

a

b

A

B

C

a b a b +

8 Chủ đề

TÀI LI TÀI LI TÀI LI TÀI LIỆU H U H U H U HỌC T C T C T C TẬP TOÁN 11 P TOÁN 11 P TOÁN 11 P TOÁN 11 – HK2 HK2 HK2 HK2 2

③ Các qui tắc.

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B , C bất kì ta có: AC AB BC = +

Mở rộng: Qui tắc đa giác khép kín

Cho n điểm bất kì 1 2 3 –1 , , , , , n n A A A A A … . Ta có: 1 2 2 3 1 1 n n n A A A A A A A A − + + + = …

 Qui tắc trừ (ba điểm cho phép trừ):

Với ba điểm A, B , C bất kì ta có: AC BC BA = −

 Qui tắc hình bình hành:

Với hình bình hành ABCD ta có: AC AB AD = +

và DB AB AD = −

 Qui tắc hình hộp. Cho hình hộp . ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ với AB , AD , AA′ là ba cạnh có chung đỉnh A và AC′ là đường chéo, ta có:

AC AB AD AA ′ ′ = + +

III. Phép nhân một số với một véctơ

① Định nghĩa 2.

Cho 0 k ≠ và véctơ 0 a ≠

. Tích .k a là một véctơ:

- Cùng hướng với a nếu 0 k >

- Ngược hướng với a nếu 0 k <

② Tính chất 2. Với a , b

bất kì; , m n R ∈ , ta có:

 ( ) m a b ma mb + = +  ( ) m n a ma na + = +

 ( ) ( ) m na mn a =  1.a a = , ( ) 1 .a a − = −  0. 0 a =

; .0 0 k =

③ Điều kiện để hai véctơ cùng phương.

Cho hai véctơ a và b

( 0 ≠

), 0 k ≠ : a cùng phương b

⇔ a kb =

Hệ quả: điều kiện để ba điểm A, B , C thẳng hàng là AB k AC =

④ Một số tính chất.

 Tính chất trung điểm

Cho đoạn thẳng AB có I là trung điểm, ta có: 0 IA IB + =

; IA IB = −

; 1 2 AI IB AB = =

 2 MA MB MI + =

(M bất kì)  Tính chất trọng tâm.

Cho ABC ∆ , G là trọng tâm, ta có: 0 GA GB GC + + =

 3 MA MB MC MG + + =

(M bất kì)  Tính chất hình bình hành. Cho hình bình hành ABCD tâm O, ta có:

 0 OA OB OC OD + + + =

 4 MA MB MC MD MO + + + =

1A

2A 3A

4A 5A 7A

8A

9A

10 A n-1 A

nA

A

B

C

A

B C

D

A B

C D

A' B'

C' D'

M

A I B

A

B C G

A

B C

D O