Vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc - Nguyễn Tài Chung

1 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

MỤC LỤC

CHƯƠNG 3 Vectơ trong không gian. Quan hệvuông góc 3

1 Vectơ trong không gian. Sựđồng phẳng của các vectơ 3

A Tóm tắt lí thuyết 3

B Một sốdạng toán 4

C Bài tập ôn luyện 16

D Bài tập trắc nghiệm 25

2 Hai đường thẳng vuông góc 32

A Tóm tắt lí thuyết 32

B Một sốdạng toán 32

C Bài tập ôn luyện 39

D Bài tập trắc nghiệm 45

3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 56

A Tóm tắt lí thuyết 56

B Phương pháp giải toán 58

C Bài tập ôn luyện 72

D Bài tập trắc nghiệm 82

4 Hai mặt phẳng vuông góc 93

A Tóm tắt lí thuyết 93

B Một sốdạng toán 95

C Bài tập ôn-luyện 105

D Bài tập trắc nghiệm 118

MỤC LỤC

2 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

5 Khoảng cách 133

A Tóm tắt lí thuyết 133

B Một sốdạng toán 134

C Bài tập ôn luyện 144

D Bài tập trắc nghiệm 153

Ôn tập chương 166

A Bộđềsố1 166

B Bộđềsố2 176

C Bộđềsố3 188

D Bộđềsố4 197

E Bộđềsố5 206

F Bài tập tựluận ôn tập chương 217

MỤC LỤC

3 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

CHƯƠNG3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆVUÔNG GÓC

BÀI 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. SỰĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Vectơ trong không gian.

1 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B, C ta có # » AB + # » BC = # » AC.

2 Quy tắc hình bình hành: Nếu OABC là hình bình hành thì # » OA + # » OC = # » OB.

3 Quy tắc phân tích một vectơ thành hiệu của hai vectơ cùng gốc:

# » AB = # » OB −# » OA, với mọi điểm O.

4 I là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉkhi

# » IA + # » IB = #»0 ⇔# » OI = # » OA + # » OB 2 , với mọi điểm O. (i)

5 G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉkhi

# » GA + # » GB + # » GC = #»0 ⇔# » OG = # » OA + # » OB + # » OC 3 , với mọi điểm O. (ii)

Lưu ý. Khi gặp tổng hai vectơ cùng gốc hoặc tổng ba vectơ cùng gốc ta thường sửdụng (i), (ii).

6 Quy tắc hình hộp (đểcộng ba vectơ khác #»0 không đồng phẳng): Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Khi đó: # » AC′ = # » AA′ + # » AB + # » AD.

7 #»a cùng phương #»b (#»b ̸= #»0 ) ⇔∃k ∈R : #»a = k#»b .

2. Sựđồng phẳng của các vectơ. Điều kiện đểba vectơ đồng phẳng. Định nghĩa 1. Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Định lí 1 (Điều kiện đểba vectơ đồng phẳng). Cho ba vectơ #»a , #»b , #»c , trong đó #»a và #»b không cùng phương. Điều kiện cần và đủđể#»a , #»b , #»c đồng phẳng là có các sốm, n sao cho #»c = m#»a + n#»b . Hơn nữa, các sốm, n là duy nhất.

Chú ý 1. Ba vectơ # » OA, # » OB, # » OC đồng phẳng khi và chỉkhi bốn điểm O, A, B, C đồng phẳng, tức là ba đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng.

Định lí 2 (Biểu thịmột vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng). Nếu #»a , #»b , #»c là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ #»d , luôn tồn tại các sốm, n, p sao cho #»d = m#»a + n#»b + p#»c . Hơn nữa các sốm, n, p là duy nhất.

CHƯƠNG 3. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆVUÔNG GÓC

4 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679

B. MỘT SỐDẠNG TOÁN

Dạng 1. Chứng minh các đẳng thức vectơ. Biểu thịmột vectơ theo các vectơ không đồng phẳng.

Phương pháp. Dựa vào các quy tắc, tính chất và các hệthức vectơ thường dùng.

Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Hãy biểu diễn các vectơ # » AC′, # » BD′, # » CA′, # » DB′, # » BC′, # » A′D theo các vectơ # » AB = #»a , # » AD = #»b , # » AA′ = #»c . L Lời giải Ta có # » AC′ = # » AB + # » BB′ + # » B′C′ = #»a + #»c + #»b . # » BD′ = # » BA + # » AD + # » DD′ = −#»a + #»b + #»c . # » CA′ = # » CD + # » DA + # » AA′ = −#»a −#»b + #»c . # » DB′ = # » DC + # » CB + # » BB′ = #»a −#»b + #»c . # » BC′ = # » BC + # » CC′ = #»b + #»c . # » A′D = # » A′D′ + # » D′D = #»b −#»c .

Bài 2. Cho tứdiện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD và O là trung điểm đoạn thẳng AG. Chứng minh rằng:

a) 3# » OA + # » OB + # » OC + # » OD = #»0 .

b) 3# » MA + # » MB + # » MC + # » MD = 6# » MO (M là điểm bất kì trong không gian).

L Lời giải

a) Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên # » 3OG = # » OB + # » OC + # » OD. Vì O là trung điểm đoạn thẳng AG nên # » OA + # » OG = #»0 . …