Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm véctơ trong không gian, quan hệ vuông góc

Trang 1/30

CHỦ ĐỀ 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa và các phép toán:

 Định nghĩa, tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.  Phép cộng, trừ vectơ:

• Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: AB BC AC + =   

.

• Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: D AB A AC + =   

.

• Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D , ta có: ' ' AB AD AA AC + + =    

.  Lưu ý:

• Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

Hai vectơ a 

và b 

( 0 b ≠  

) ! : . k a k b ⇔∃ ∈ =    . • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( 1 k ≠), điểm O tùy ý.

Ta có: . MA k MB =  

1 OA kOB OM k − = −

  

• Trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý.

Ta có: 0 IA IB + =   

2 OA OB OI + =   

• Trọng tâm của tam giác: Cho G là trọng tâm ∆ABC, điểm O tùy ý.

Ta có: 0 GA GB GC + + =    

3 OA OB OC OG + + =    

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ:

 Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , , a b c 

, trong đó a 

và b 

không cùng

phương.

Khi đó: , , a b c 

đồng phẳng ! , : . . m n c m a n b ⇔∃ ∈ = +    

 Cho ba vectơ , , a b c 

không đồng phẳng, x 

tùy ý.

Khi đó: ! , , : . . . m n p x m a nb p c ∃ ∈ = + +      3. Tích vô hướng của hai vectơ:

 Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có: , AB u AC v = =   

.

Khi đó: ( )  , u v BAC =   0 0 (0 180 ) BAC ≤ ≤

 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

Cho , 0 u v ≠  

. Khi đó: ( ) . . .cos , u v u v u v =   

• Với 0 u =  

hoặc 0 v =  

, quy ước: . 0 u v = 

• Với , 0 u v ≠  

, ta có: . 0 u v u v ⊥ ⇔ =   

II. KỸ NĂNG CƠ BẢN

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức. Phân tích vectơ. Áp dụng công thức tính tích vô hướng.

• Áp dụng các phép toán đối với vectơ (phép cộng hai vectơ, phép hiệu hai vectơ, phép nhân một vectơ với một số). • Áp dụng các tính chất đặc biệt của hai vectơ cùng phương, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác.

Ví dụ: Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′ ′ ′, M là trung điểm của BB′ . Đặt CA a =  

,CB b =  

,

' AA c =  

. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 2/30

A. 1 2 AM b a c = − +    

. B. 1 2 AM a c b = −+    

. C. 1 2 AM a c b = + −    

. D. 1 2 AM b c a = + −    

.

Hướng dẫn :

Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì 1 1 2 2 AM AB AB′ = +   

. Khi đó :

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 AM AB AB AB AB BB AB AA AC CB AA a b c ′ ′ ′ ′ = + = + + = + = + + = −+ +              

.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, đường thẳng song song với mặt phẳng, các tập hợp điểm đồng phẳng • Ứng dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba vectơ đồng phẳng Ví dụ : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:

A. OA OC OB OD + = +    

. B. 0 OA OB OC OD + + + =     

.

C. 1 1 2 2 OA OB OC OD + = +    

. D. 1 1 2 2 OA OC OB OD + = +    

.

Hướng dẫn:

Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì AB CD =  

hoặc AC BD =  

. Khi đó

A. ( ) OA OC OB OD OA OB OD OC BA CD AB DC + = + ⇔ − = − ⇔ = =           

.

B. 0 OA OB OC OD + + + =     

: Với O là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD .

C. 1 1 2 2 OA OB OC OD + = +     1 1 2 2 OA OC OD OB ⇔ − = −    

1 2 CA BD ⇔ =  

.

D. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 OA OC OB OD OA OB OD OC BA CD + = + ⇔ − = − ⇔ =        …