Các bài toán khó về quan hệ vuông góc

CÁC BÀI TOÁN KHÓ VỀQUAN HỆVUÔNG GÓC Website. tuduymo.com

CÁC BÀI TOÁN KHÓ VỀQUAN HỆVUÔNG GÓC

LATEX bởi TƯ DUY MỞ

1 Phương pháp vector.

Đây là một phương pháp rất mạnh đểxửlý các bài toán có yếu tốvuông góc ví dụnhư hình hộp chữnhật, hình lập phương, khối tứdiện đều. Trước tiên ta cần phải tìm hiểu các kiến thức nền tảng của phương pháp này.

1.1 Cơ sởcủa phương pháp vector.

1.1.1 Quy tắc hình hộp.

Nếu ABCD.A′B′C′D′ là hình hộp thì −→ AC′ = −→ AB+−→ AD+−→ AA′ = −→a +−→b +−→c .

1.1.2 Quy tắc trọng tâm tứdiện.

G là trọng tâm tứdiện ABCD khi và chỉkhi một trong hai điều kiện sau xảy ra

1. −→ GA+−→ GB+−→ GC +−→ GD = −→0

2. −→ MA+−→ MB+−→ MC +−−→ MD = 4−−→ MG,∀M

1.1.3 Quy tắc đồng phẳng.

Điều kiện cần và đủđểba vector −→a ,−→b ,−→c đồng phẳng là có các sốm,n, p không đồng thời bằng 0 sao cho

m−→a +n−→b + p−→c = −→0

1. Cho hai vector không cùng phương khi đó điều kiện cần và đủđểba vec tơ −→a ,−→b ,−→c đồng phẳng là có các sốm,n sao cho −→c = m−→a +n−→b .

2. Nếu ba vector −→a ,−→b ,−→c không đồng phẳng thì mỗi vec tơ −→d đều có thểphân tích một cách duy nhất dưới dạng −→d = m−→a +n−→b + p−→c .

1.2 Các dạng toán và phương pháp giải.

| DẠNG 1. Chứng minh đẳng thức vector.

Phương pháp giải. Sửdụng quy tắc cộng, quy tắc trừba điểm, quy tắc trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứgiác, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp,...đểbiến đổi vếnày thành vếkia.

Bài tập 1. 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữnhật. Chứng minh rằng

−→ SA 2 +−→ SC 2 = −→ SB 2 +−→ SD 2

LATEX bởi Tư Duy Mở 2 Group. Cộng đồng tư duy mởTOÁN LÍ

CÁC BÀI TOÁN KHÓ VỀQUAN HỆVUÔNG GÓC Website. tuduymo.com

2. Cho tứdiện ABCD, M và N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB và CD thỏa mãn điều kiện −→ MA = −2−→ MB,−→ ND = −2−→ NC; các điểm I,J,K lần lượt thuộc AD,MN,BC sao cho

−→ IA = k−→ ID,−→ JM = k−→ JN,−→ KB = k−→ KC

Chứng minh với mọi điểm O ta có −→ OJ = 1

3 −→ OI + 2

3 −→ OK.

| DẠNG 2. Ba vector đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng.

Phương pháp giải. Đểchứng minh ba vector −→a ,−→b ,−→c đồng phẳng ta có thểthực hiện theo một trong các cách sau

1. Chứng minh giá của ba vector−→a ,−→b ,−→c cùng song song với một mặt phẳng.

2. Phân tích −→c = m−→a +n−→b trong đó −→a ,−→b là hai vector không cùng phương.

Đểchứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng ta có thểchứng minh ba vector −→ AB,−→ AC,−→ AD đồng phẳng. Ngoài ra có thểsửdụng kết quảquen thuộc sau. Điều kiện cần và đủđểđiểm D ∈(ABC) là với mọi điểm O bất kì ta có −→ OD = x−→ OA+y−→ OB+z−→ OC trong đó x+y+z = 1 Tính chất trên gọi là tâm tỉcựtrong không gian.

Bài tập 2. 1. Cho tứdiện ABCD, các điểm M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Gọi P,Q lần lượt là các điểm thỏa mãn −→ PA = k−→ PD, −→ QB = k−→ QC(k ̸= 1). Chứng minh M,N,P,Q đồng phẳng.

2. Cho tứdiện ABCD, các điểm M,N xác định bởi −→ MA = x−→ MC,−→ NB = y−→ ND (x,y ̸= 1). Tìm điều kiện giữa x và y đểba vector −→ AB,−→ CD,−−→ MN đồng phẳng.

3. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, M,N là các điểm thỏa −→ MA = −1

4 −−→ MD, −−→ NA′ = −2

3 −→ NC. Chứng minh

MN ∥(BC′D).

4. Cho lăng trụtam giác ABC.A′B′C′. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA′,CC′ và G là trọng tâm của tam giác A′B′C′. Chứng minh (MGC′) ∥(AB′N).

5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành . Gọi B′,D′ lần lượt là trung điểm của

các cạnh SB,SD. Mặt phẳng (AB′D′) cắt SC tại C′. Tính SC′

SC .

6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi K là trung điểm của cạnh SC. Mặt

phẳng qua AK cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M,N. Chứng minh SB

SM + SD

SN = 3.

7. Cho tứdiện ABCD, trên các cạnh AB,AC,AD lấy các điểm K,E,F. Các mặt phẳng (BCF),(CDK),(BDE) cắt nhau tại M. Đường thẳng AM cắt (KEF) tại N và cắt mặt

phẳng (BCD) tại P. Chứng minh NP

NA = 3MP

MA.

8. Cho đa giác lồi A1A2...An (n ⩾2) nằm trong (P) và S là một điểm nằm ngoài (P). Một mặt phẳng

(α)cắt các cạnhSA1,SA2,...,SAn của hình chóp S.A1A2...An tại các điểm B1,B2,..,Bn sao cho SA1

SB1 +

SB2 SB2 +...+ SAn

SBn = a. Chứng minh rằng mặt phẳng (α) luôn đi qua một điểm …