Hướng dẫn giải các dạng toán vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc

CHƯƠNG3 QUAN HỆVUÔNG GÓC

BÀI 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA

1 Véctơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu và điểm cuối).

2 Véctơ - không là véctơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

3 Ký hiệu véctơ: # » AB (điểm đầu là A, điểm cuối là B) hay #»a , #»b , #»x , #»y , . . .

4 Độdài của véctơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của véctơ đó. Kí hiệu |# » AB|, |#»a |.

5 Giá của véctơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véctơ đó.

6 Hai véctơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

7 Hai véctơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.

8 Hai véctơ bằng nhau là hai véctơ cùng hướng và có cùng độdài. Tức là #»a = #»b ⇔

® cùng hướng |#»a | = |#»b |

9 Hai véctơ đối nhau là hai véctơ ngược hướng nhưng vẫn có cùng độdài.

10 Các phép toán cộng, trừ, nhân véctơ với một sốđược định nghĩa tương tựtrong mặt phẳng.

2 CÁC QUY TẮC TÍNH TOÁN VỚI VÉCTƠ

1 Quy tắc ba điểm (với phép cộng): # » AB + # » BC = # » AC.

2 Quy tắc ba điểm (với phép trừ): # » OB −# » OA = # » AB.

3 Quy tắc ba điểm (mởrộng): # » AX1 + # » X1X2 + # » X2X3 · · · + # » Xn−1Xn + # » XnB = # » AB.

4 Quy tắc hình bình hành:

(a) # » AB + # » AD = # » AC.

(b) # » AB + # » AD = 2# » AE trong đó ABCD là hình bình hành và E là trung điểm của BD.

5 Quy tắc hình hộp:

# » AB + # » AD + # » AA′ = # » AC′

trong đó ABCD.A′B′C′D′ là một hình hộp. A′ B′ C′

D′

A

B C D

675

676 CHƯƠNG 3. QUAN HỆVUÔNG GÓC

3 MỘT SỐHỆTHỨC VÉCTƠ TRỌNG TÂM, CẦN NHỚ

1 I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔# » IA + # » IB = #»0 ⇔# » OA + # » OB = 2# » OI (với O là một điểm bất kỳ).

2 G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔# » GA + # » GB + # » GC = #»0 ⇔# » OA + # » OB + # » OC = 3# » OG

⇔# » AG = 2

3 # » AM (với O là một điểm bất kỳ, M là trung điểm cạnh BC).

3 G là trọng tâm của tứdiện ABCD ⇔# » GA + # » GB + # » GC + # » GD = #»0 ⇔# » OA + # » OB + # » OC + # » OD =

4# » OG ⇔# » AG = 3

4 # » AA′ (với điểm O bất kỳ, A′ là trọng tâm của ∆BCD)

⇔# » GM + # » GN = #»0 (với M, N là trung điểm 1 cặp cạnh đối diện).

4 #»a và #»b ̸= #»0 cùng phương ⇔∃k ∈R : #»a = k.#»b

5 #»a và #»b ̸= #»0 cùng hướng ⇔∃k ∈R+ : #»a = k.#»b

6 #»a và #»b ̸= #»0 ngược hướng ⇔∃k ∈R−: #»a = k.#»b

7 Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔∃k ∈R : # » AB = k.# » AC

4 ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉCTƠ

Định nghĩa 1. Trong không gian, ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.

Hệquả1. Nếu có một mặt phẳng chứa véctơ này đồng thời song song với giá của hai véctơ kia thì ba véctơ đó đồng phẳng.

Định lí 1. (Điều kiện đểba véctơ đồng phẳng) Trong không gian cho hai véctơ #»a và #»b không cùng phương và véctơ #»c . Khi đó #»a , #»b và #»c đồng phẳng khi và chỉkhi tồn tại cặp số(m; n) sao cho #»c = m#»a + n#»b (cặp số(m; n) nêu trên là duy nhất). △ ! Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng ⇔# » AB, # » AC, # » AD đồng phẳng ⇔# » AB = m.# » AC + n.# » AD.

5 PHÂN TÍCH MỘT VÉCTƠ THEO BA VÉCTƠ KHÔNG ĐỒNG PHẲNG

Định lí 2. Cho ba véctơ #»a , #»b và #»c không đồng phẳng. Với mọi véctơ #»x , ta đều tìm được duy nhất một bộsố(m; n; p) sao cho #»x = m.#»a + n.#»b + p.#»c .

#»a #»b

#»c

#»x

6 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ

Định nghĩa 2.

1 Nếu #»a ̸= #»0 và #»b ̸= #»0 thì #»a .#»b = |#»a | . #»b . cos(#»a , #»b )

2 Nếu #»a = #»0 hoặc #»b = #»0 thì #»a .#»b = 0