Phân loại và phương pháp giải bài tập vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 695

BÀI 1. VECTO TRONG KHÔNG GIAN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I – ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Cho đoạn thẳng trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là , điểm cuối là ta có một vectơ, được kí hiệu là .

Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu chỉ vectơ có điểm đầu là , điểm

cuối . Vectơ còn được kí hiệu là ,…

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

II – ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Trong không gian cho ba vectơ , , đều khác vectơ – không. Nếu từ một điểm bất kì ta vẽ

, , thì có thể xả ra hai trường hợp:

Trường hợp các đường thẳng , , không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói

rằng vectơ , , không đồng phẳng.

Trường hợp các đường thẳng , , cùng nằm trong một mặt phẳng thi ta nói ba vectơ ,

, đồng phẳng.

Trong trường hợp này giá của các vectơ luôn luôn song song với một mặt phẳng.

a) Ba vectơ , , không đồng phẳng b) Ba vectơ , , đồng phẳng

Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm .

Từ đó ta có định nghĩa sau đây:

2. Định nghĩa

Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

AB A B

AB 

AB 

A

B , , , a b x y  

a 

b 

c 

O

OA a =   OB b =   OC c =  

· OA OB OC

a 

b 

c 

· OA OB OC a 

b 

c 

, , a b c 

a 

b 

c 

a 

b 

c 

O

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 696

Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về sự phân tích (hay biểu thị) một vectơ theo hai vectơ hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng chúng ta có thể chứng minh được định lí sau đây:

Định lí 1

Trong không gian cho hai vectơ , không cùng phương và vectơ . Khi đó ba vectơ , ,

đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số sao cho . Ngoài ra cặp số là duy nhất.

Định lí 2

Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng , , . Khi đó với mọi vectơ ta đều tìm

được một bộ ba số sao cho . Ngoại ra bộ ba số là duy nhất.

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Biểu diễn vectơ

Câu 1: Cho hình lăng trụ Đặt Gọi là trọng tâm của tam

giác Vectơ bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi I là trung điểm của . B C ¢ ¢

Vì G¢ là trọng tâm của tam giác 2 . 3 A B C A G A I ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢  =  

Ta có ( ) 2 1 . 3 3 AG AA A G AA A I AA A B A C ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ = + = + = + +        

( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 3 . 3 3 3 AA AB AC AA AB AC a b c ¢ ¢ = + + = + + = + +         

a 

b 

c 

a 

b 

c 

, m n c ma nb = +    , m n

a 

b 

c 

x 

, , m n p x ma nb pc = + +     , , m n p

. . ABC A B C ¢ ¢ ¢ , , . a AA b AB c AC ¢ = = =      G¢

. A B C ¢ ¢ ¢ AG¢ 

( ) 1 3 . 3 a b c + +    ( ) 1 3 . 3 a b c + +    ( ) 1 3 . 3 a b c + +    ( ) 1 . 3 a b c + +   

G' I

C

B

A

B'

C' A'