Chuyên đề trắc nghiệm vectơ trong không gian

CHỦ ĐỀ 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Định nghĩa:

Vectơ trong không gian là một đoạn thằng có hướng. Kí hiệu AB 

chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm

cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là a 

, b 

, c 

,…

2. Các quy tắc về vectơ

 Quy tắc 3 điểm: AC AB BC = +   

hoặc AC BC BA = −   

 Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ACBD ta

có: AC AB AD = +   

 Quy tắc trung điểm: Nếu M là trung điểm của AB thì

0 MA MB + =   

 Quy tắc trung tuyến: Nếu AP là trung tuyến của tam

giác ABC thì ( ) 1 2 AP AB AC = +   

Tương tự hình bên ta có: 2

2

BA BC BN

CB CA CM

 + =  + = 

  

  

 Quy tắc trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC

thì 0 GA GB GC + + =    

Khi đó với mọi điểm M ta có: 3 MA MB MC MG + + =    

 Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

thì ' ' AB AD AA AC + + =    

Chứng minh:

Ta có: ACC’A’ là hình bình hành nên ' ' AC AC AA = +   

Tương tự: AC AB AD = +   

suy ra ' ' AC AB AD AA = + +    

Chú ý: Nếu G là trong tâm tứ diện ABCD, ta có:

0 GA GB GC GD + + + =     

3. Sự đồng phẳng của các vectơ, điều kiện để va vectơ đồng phẳng

Định nghĩa: Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

 Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a 

, b 

, c 

đồng phẳng là a 

và b 

cùng phương

hoặc tồn tại các số m, n duy nhất sao cho . . c m a n b = +   

 Định lí 2: Nếu a 

, b 

, c 

là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ d 

trong không

gian, ta tìm được các số m, n, p duy nhất sao cho

4. Tích vô hướng của 2 vectơ

Góc giữa 2 vectơ a 

và b 

khác 0 

được định nghĩa bằng

góc AOB với OA a =  

; OB b =  

Nếu a 

hoặc b 

bằng 0 

ta quy ước góc giữa chúng có thể

nhận một giá trị tùy ý.

Tích vô hướng giữa 2 vectơ a 

và b 

là một số, được kí

hiệu .a b 

và được xác định bởi ( ) . . cos ; a b a b a b =    

từ đó suy ra cosin góc giữa 2 vectơ a 

và b 

là

( )

. cos ; .

a b a b a b =

   

Đặc biệt khi ( ) cos ; 0 . 0 a b a b a b ⊥ ⇔ = ⇔ =    

Tính chất: Cho 3 vectơ a 

, b 

, c 

và số thực k. Khi đó ta có:

i) . . a b b a =  

ii) ( ) . . a b c a b a c + = +    

iii) ( ) ( ) ( ) . . ka b k a b a kb = +    

iv)

2 2 a a =  

Vectơ chỉ phương của đường thằng:

Vectơ 0 a ≠  

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thằng d nếu giá của vectơ a 

song song hoặc trùng

với đường thẳng d

Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ

phương a 

của đường thẳng d.

Ứng dụng của tích vô hướng

Tính độ dài đoạn thẳng AB:

2 AB AB AB = =  

Xác định góc giữa hai vectơ: ( )

. cos ; .

a b a b a b =

   

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Chứng minh các đằng thức vectơ, chứng minh 3 vectơ đồng phẳng.

Phương pháp giải:

Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng mình bằng một trong các cách:

• Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.