Chuyên đề trắc nghiệm quan hệ vuông góc

CHỦ ĐỀ 4: QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

I. Định nghĩa:

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông

góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).

Định lý: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng

(P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

II. Các tính chất

 Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một

đường thẳng a cho trước.

 Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng ∆ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với mặt

phẳng (P) cho trước.

 Tính chất 3:

a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường

thẳng còn lại.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Tính chất 3 được viết gọn là:

 a / /b (P) b (P) a  ⇒ ⊥  ⊥ 



a (P)

b (P) a / /b

a b

⊥  ⊥ ⇒  ≠ 

 Tính chất 4:

a) Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng

còn lại.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Tính chất 4 được viết gọn là:

 (P) / /(Q) a (Q) a (P)  ⇒ ⊥ ⊥ 



a (P)

b (P) (P) / /(Q)

(P) (Q)

⊥  ⊥ ⇒   ≠ 

 Tính chất 5:

a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng

song song với a.

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường

thẳng thì chúng song song với nhau.

Tính chất 5 được viết gọn là:

 a / /(P) a b b (P)  ⇒ ⊥ ⊥ 



a (P)

a b a / /(P)

(P) b

⊄  ⊥ ⇒   ⊥ 

III. Định lý ba đường vuông góc

Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b

nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu

a’ của a trên (P).

IV. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và

mặt phẳng (P) bằng 90° (hình 1).

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P)

được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) (hình 2).

Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90°.

 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta chứng minh:

 a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

 a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P).

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt và ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC.

Điểm I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh BC (ADI) ⊥

b) Gọi AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh rằng AH (BCD) ⊥

Lời giải

a) Do các tam giác ABC và BCD là hai tam giác cân nên tại A và D

ta có: AI BC DI BC ⊥   ⊥ 

(trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời

là đường cao)

Do đó BC (ADI) ⊥ .

b) Do AH là đường cao trong tam giác ADI nên AH DI ⊥

Mặt khác BC (ADI) BC AH ⊥ ⇒ ⊥

Do đó AH (BCD) ⊥

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA (ABCD) ⊥ . Gọi M và N lần lượt là hình

chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.

a) Chứng minh rằng BC (SAB),CD (SAD) ⊥ ⊥ .

b) Chứng minh rằng AM (SBC);AN (SCD) ⊥ ⊥ .

c) Chứng minh rằng SC (AMN) ⊥ và MN//BD

d) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh rằng tứ giác AMKN có hai đường chéo

vuông góc.

Lời giải

a) Do SA (ABCD) SA BC ⊥ ⇒ ⊥

Mặt khác ABCD là hình vuông nên BC AB ⊥

Khi đó BC AB BC (SAB) BC SA

⊥  ⇒ ⊥  ⊥ 

Tương tự chứng minh trên ta có: CD (SAD) ⊥

b) Do BC (SAB) BC AM ⊥ ⇒ ⊥

Mặt khác AM SB AM (SBC) ⊥ ⇒ ⊥