Bài toán khoảng cách trong không gian

CHỦ ĐỀ 6: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH

Vấn đề 1: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

 Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao

Xét bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ

điểm A bất kì đến mặt bên ( ) SHB .

Kẻ AH HB ⊥ ta có:

( ) AK HB AK SHB AK SH ⊥  ⇒ ⊥  ⊥ 

Suy ra ( ) ( ) ; d A SHB AK = .

Cách tính: Ta có: ( ) ( ) 2 ; AHB S d A SHB AK HB = =

  sin .sin AB ABK AH AHK = = .

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có  3 , 2 , 60 AB a BC a ABC = = = °. Biết

( ) SA ABC ⊥ .

a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) SAB .

b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ) SAC .

Lời giải

a) Dựng CH AB ⊥ ta có: ( ) CH AB CH SAB CH SA ⊥  ⇒ ⊥  ⊥ 

Do đó

( ) ( )  ; sin 2 sin 60 3 d C SAB CH CB ABH a a = = = ° = .

b) Dựng ( ) CK AC CK SAC ⊥ ⇒ ⊥ .

Ta có: ( ) ( )

 2 . sin ; ABC S AB BC ABC d B SAC CH AC AC = = =

Trong đó  2 2 2 2 . cos AC AB BC BA BC B = + −

( ) ( ) 3 .2 .sin 60 3 21 7 ; 7 7 a a a AC a d B SAC a ° ⇒ = ⇒ = = .

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với , 3 B a AD a = = . Tam giác SAB cân tại S và

thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung tâm của AB.

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) SHD .

b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( ) SHC .

Lời giải

a) Do tam giác SAB cân tại S nên SH AB ⊥ .

Ta có: 2 a HA HD = = .

Mặt khác ( ) ( ) ( ) SAB ABCD SH ABCD ⊥ ⇒ ⊥ .

Dựng ( ) ( ) ( ) ; AE DH AE SHD d A SHD AE ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = .

Mặt khác

2 2 . 39 13 AH AD a AE AH AD = = +

.

b) Dựng ( ) ( ) ; DK CH d D SHC DK ⊥ ⇒ = .

Ta có: 2 2 13 2 a CH HB BC = + = , ( )

2 1 1 3 . ; . . 3 2 2 2 HCD a S CD d H CD a a = = = .

Do đó ( ) ( ) 2 2 39 D; 13

HCD S a d SHC CH = = .

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có 3 AD a = , 2 AB BC a = = . Biết

( ) SA ABCD ⊥ .

a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) SAD .

b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( ) SAC .

Lời giải

a) Dựng ( ) CE AD CE SAD ⊥ ⇒ ⊥ .

Khi đó ( ) ( ) ; d C SAD CE = , do ABCE là hình vuông cạnh 2a nên

( ) ( ) 2 ; 2 CE AE a d C SAD a = = ⇒ = .

b) Dựng ( ) DH AC DH SAC ⊥ ⇒ ⊥ .

Khi đó ( ) ( ) ; d D SAC DH = .

Ta có: ABCE là hình vuông nên  45 CAD = °.

Do đó 2 3 2 DH ADsin 45 3 . 2 2 a a = ° = = .

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 5a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S

trên mặt phẳng ( ) ABCD trùng với trọng tâm H của tam giác ABD.

a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ) SAC .

b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) SHD .

Lời giải

a) Do H là trọng tâm tam giác ABD H AC ⇒ ∈ .

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD BO AC ⇒ ⊥ .

Mặt khác ( ) BO SH BO SAC ⊥ ⇒ ⊥

Khi đó ( ) ( ) 5 2 ; 2 a d B SAC BO = = .

b) Dựng ( ) ( ) ( ) ; CK HD CK SHD d C SHD CK ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = .

Gọi I là trung điểm của AB thì H DI AO = ∩ .

Khi đó:

2 2

2 2 2 2

1 2. 2 25 25 2 2 5 5 25 2

ABCD ICD S S a a CK a DI DI DA AI a a

= = = = = +   +    

.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác đều cạnh a , với 2 AB a = . Biết ( ) SA ABCD ⊥

và mặt phẳng ( ) SBC tạo với đáy một góc 60°.

a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) SAB .

b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( ) SAC .

Lời giải

a) Tứ giác ABCD là nửa lục giác đều cạnh a nên nó nội tiếp đường tròn đường kính 2 AB a = .

Dựng ( ) ( ) ( ) ; CH AB CH SAB d C SAB CH ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = .

Mặt khác  3 60 sin 60 2 a ABC CH BC = ° ⇒ = ° = .

Vậy ( ) ( ) 3 ; 2 a d C SAB = .

b) Dựng ( ) ( ) ( ) ; DK AC DK SAC d D SAC DK ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = .

Do     120 , 90 30 sin sin30 2 a DCB ACB ACD DK CD DCK a = ° = ° ⇒ = ° ⇒ = = ° = .

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2, 2, 2 AB BC = = .

Gọi M là trung điểm của CD, hai mặt phẳng ( ) SBD và ( ) SAM cùng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách