Tài liệu chủ đề hai đường thẳng vuông góc

Trang 1

CHỦ ĐỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Góc giữa hai vectơ a



và b



khác 0



được định nghĩa bằng góc

 AOBvới OA a   

; OB b   

.

Nếu a



hoặc b



bằng 0



ta quy ước góc giữa chúng có thể nhận một giá

trị tùy ý.

Tích vô hướng của hai vectơ a



và b



là một số, được ký hiệu .a b



và

được xác định bởi   . . cos ; a b a b a b    

từ đó suy ra cosin góc giữa hai

vectơ a



và b



là  

. cos ;

.

a b a b

a b 

 

 

Đặc biệt khi   cos ; 0 . 0 a b a b a b         

.

Tính chất của tích vô hướng:

Cho 3 vectơ a



; b



; c



và số thực k . Khi đó ta có:

i) . . a b b a   

. ii)   . . a b c a b a c       

.

iii)       . . . ka b k a b a kb      

. iv)

2 2 a a   

.

2) Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Định nghĩa:

Trong không gian cho 2 đường thẳng a , b bất kỳ. Từ một điểm O

nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a, b lần lượt song song với a và

b . Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường

thẳng avà b không thay đổi.

Do đó ta có định nghĩa:

Định nghĩa: Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là

góc giữa 2 đường thẳng avà bcùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b .

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng:

Để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi

vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

Nếu u



là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v



là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và   ;u v   

thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng nếu 0 90    và bằng 180   nếu 90 180    .

Nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0.

Trang 2

Góc giữa hai đường thẳng là góc có số đo 0 180    .

Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng:

Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian ta cần nhớ các công thức sau:

– Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC : 

2 2 2 cos 2. . AB AC BC BAC AB AC   

Tương tự ta có: 

2 2 2 cos 2. . BA BC AC ABC BA BC    và 

2 2 2 cos 2. . CA CB AB ACB CACB    .

Chú ý công thức đặc biệt:    2 2 2 1 . . cos 2 AB AC AB AC BAC AB AC BC     

.

– Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ AB



và CD



dựa vào công thức

 

. cos ;

.

AB CD AB CD

AB CD 

 

  

. cos ;

.

AB CD AB CD

AB CD  





Từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

3) Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90.

Ký hiệu: a b  hoặc b a 

Mối quan hệ giữa quan hệ song song và vuông góc: // a b c b c a     

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ,   SA ABC  và 3 SA a  . Gọi M ,

N lần lượt là trung điểm AB và SC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AN và CM .

Lời giải:

Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra 2 a AM CE   .

Khi đó       // ; ; AE CM AN CM AN AE     .

Mặt khác 2 2 2 SC SA AC a    độ dài đường trung tuyến AN là

2 SC AN a   . 3 2 a AE CM   .

Do ABC  đều nên CM AM  AMCE  là hình chữ nhật.

Khi đó CE AE  mà CE SA    CE SAE CE SE     .

SEC  vuông tại E có đường trung tuyến 1 2 EN SC a   .

Ta có: 

2 2 2 3 cos 0 2. . 4 AN AE NE NAE AN AE      3 cos 4    .