Tài liệu chủ đề đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trang 1

CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

a) Định nghĩa:

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng  P nếu

d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng  P .

b) Định lý: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt

phẳng  P thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P .

c) Các tính chất

 Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng  P đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một

đường thẳng a cho trước.

 Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng Δ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với mặt

phẳng  P cho trước.

 Tính chất 3:

a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường

thẳng còn lại.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Tính chất 3 được viết gọn là:

        

a // b

P b P a .



 

      

a P

b P a // b

a b

 Tính chất 4:

a) Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng

còn lại.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Tính chất 4 được viết gọn là:

         

P // Q

a Q a P

.

Trang 2



   

 

       

a P

b P P // Q

P Q

.

 Tính chất 5:

a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng  P song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với  P thì

cũng song song với a.

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường

thẳng thì chúng song song với nhau.

Tính chất 5 được viết gọn là:

  

    

a // P

a b b P

.









       

a P

a b a // P

P b

.

d) Định lý ba đường vuông góc

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng  P và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng  P .

Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a của a trên  P .

2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trang 3

a) Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng  P thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a

và mặt phẳng  P bằng 90 (hình 1).

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng  P thì góc giữa a và hình chiếu a của nó trên  P

được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P (hình 2).

Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90.

b) Phương pháp xác định và tính góc:

Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Cách tìm hình chiếu a của a trên mặt phẳng  P ta có thể làm

như sau:

Tìm giao điểm    M a P .

Tìm một điểm A tùy ý trên đường thẳng a    A M và xác định

hình chiếu vuông góc H của A trên mặt phẳng  P . Khi đó, a là

đường thẳng đi qua hai điểm A và M. Ta có:      ;   a P AMH  .

Xét tam giác vuông AMH ta có:

  

cos

tan

; sin

        

  

HM

AM AH MH

d A P AH AM AM







(trong đó    ; d A P là khoảng cách từ điểm

A đến mặt phẳng  P ).

II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp giải:

Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P ta chứng minh:

 d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong  P .

 d song song với đường thẳng a mà a vuông góc với  P .

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Điểm I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh    BC ADI .

b) Gọi AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh rằng    AH BCD .

Lời giải: