Tài liệu chủ đề hai mặt phẳng vuông góc

Trang 1

CHỦ ĐỀ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Góc giữa hai mặt phẳng

a) Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt

phẳng đó.

b) Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng  ; . P Q

Lấy , mp  A Q dựng  mp  AB P   .  B P

Vẽ BH vuông góc với d thì AH vuông góc . d

Vậy  AHB   0 90  o là góc giữa hai mặt phẳng  P và . Q

c) Công thức diện tích hình chiếu:

Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng  P và  S là diện tích hình chiếu  H của H trên mặt

phẳng   P thì cos ,   S S trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng  P và  .  P

Hay như hình vẽ trên ta có .cos   A B C ABC S S

Trang 2

2) Hai mặt phẳng vuông góc

a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o.

b) Định lý 1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt

phẳng đó vuông góc với nhau.

c) Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm

trong , P vuông góc với giao tuyến của  P và  Q đều vuông góc với mặt phẳng . Q

 Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong  P

thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với  Q sẽ nằm trong . P

Hệ quả 1 được viết gọn là:

   

.

           

P Q

A P a P a Q

A a

 Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và vuông góc

với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông

góc với mặt phẳng thứ ba.

Hệ quả 2 được viết gọn là:

     

.

          

P Q a

P R a R

Q R

Trang 3

 Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vuông góc với

mặt phẳng  P có duy nhất mặt phẳng  Q vuông

góc với mặt phẳng . P

3) Một số khối hình đặc biệt

 Hình lăng trụ đứng: Là hình lăng trụ có tất cả các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

 Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

 Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

 Hình hộp chữ nhật: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.

 Hình lập phương: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông.

 Hình chóp đều: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các

cạnh bên bằng nhau:

Dưới đây là hình vẽ của hình chóp tam giác đều, tứ giác đều và hình chóp lục giác đều.

II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

 Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Phương pháp giải:

Để chứng minh hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau ta sẽ chứng minh

 Một đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P vuông góc với mặt phẳng  Q hoặc ngược lại,

một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng  Q và vuông góc với mặt phẳng . P

 Góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q bằng 90o.

Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và  .  SA ABC

Trang 4

a) Chứng minh    .  SBC SAB

b) Gọi AH và AK lần lượt là đường cao trong tam giác SAB và . SAC Chứng minh    .  SBC AKH

c) Gọi D là giao điểm của HK và . BC Chứng minh rằng    .  SAD SAC

Lời giải:

a) Do   .    SA ABC SA BC

Tam giác ABC vuông tại B nên .  AB BC

Do đó      .    BC SAB SBC SAB

b) Ta có:      BC SAB BC AH

Mặt khác      .      AH SC AH SBC AHK SBC

c) Ta có:      AH SBC AH SC

Mặt khác      AK SC SC AHK hay  .  SC AKD

Suy ra  AD SC mà  .    SA AD AD SAC

Do vậy    .  SAD SAC

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB vuông góc với mặt phẳng  . BCD Trong tam giác BCD vẽ

các đường cao BE và DF cắt nhau tại . O Trong mặt phẳng   ACD vẽ DK vuông góc với AC tại . K

Gọi H là trực tâm của tam giác . ACD

a) Chứng minh mặt phẳng   ADC vuông góc với mặt phẳng   ABE và mặt phẳng   ADC vuông góc

với mặt phẳng  . DFK

b) Chứng minh rằng OH vuông góc với mặt phẳng  . ACD

Lời giải:

a) Ta có:         

BE CD CD ABE AB CD

mà      .    CD ACD ADC …