Bài giảng góc trong không gian

Trang 1

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI GIẢNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa

hai mặt phẳng.

+ Nắm được phương pháp tính góc trong mỗi trường hợp cụ thể.

 Kĩ năng

+ Thành thạo các bước tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc

giữa hai mặt phẳng.

+ Vận dụng các quy tắc tính góc vào giải các bài tập liên quan.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một

điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.

Nhận xét:

Để xác định góc giữa hai đường thẳng a, b ta lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ

đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

a)      , 90 ; o d P d P   

b)          , , . d P d P d d AIH     

(với d' là hình chiếu của d lên (P)).

Chú ý:     0 , 90 . o o d P  

Góc giữa hai mặt phẳng

Định nghĩa:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

TOANMATH.com Trang 3

         , , . a a b b

   

     

Chú ý:       / / , 0 ; o      

      , 0 . o       

Diện tích hình chiếu đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác H nằm trong mặt phẳng  P ; S' là diện tích

hình chiếu H' của H trên mặt phẳng   P và  là góc giữa hai mặt phẳng

 P và   P thì .cos . S S  

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

GÓC

Góc giữa hai

đường thẳng a, b

Góc giữa đường thẳng

d và mặt phẳng (P)

Góc giữa hai

mặt phẳng

Góc giữa hai đường thẳng a

và b là góc giữa hai đường

thẳng a' và b' cùng đi qua

một điểm và lần lượt song

song hoặc trùng với a và b.

   , 90 . o a b a b   

     , 90 ; o d P d P   



        , , .

d P

d P d d AIH

 

  

(với d' là hình chiếu

của d lên (P)).

 

       , , .

a

b

a b





 

   

 

TOANMATH.com Trang 4

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp giải

Để tính góc giữa hai đường thẳng d1, d2 trong không gian ta có thể thực hiện như sau

Bước 1. Chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Bước 2. Từ O dựng các đường thẳng 1 2 , d d   lần lượt song song (có thể trùng nếu O nằm trên một

trong hai đường thẳng) với d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng 1 2 , d d   chính là góc giữa hai đường thẳng

d1, d2.

Lưu ý: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác:

2 2 2 cos . 2 b c a A bc   

Cách khác: Tìm hai vec tơ chỉ phương 1 2 , u u  của hai đường thẳng d1, d2.

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi  

1 2

1 2

1 2

. cos , . u u d d u u 





Ví dụ:

Góc giữa d1, d2 là góc giữa 1 2 , d d 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng CD' và A'C' bằng

A. 30°. B. 90°. C. 60°. D. 45°.

Hướng dẫn giải

Ta thấy       / / , , . A C AC CD A C CD AC        

Do các mặt của hình lập phương bằng nhau nên các đường chéo bằng nhau.