Dạng toán xác định góc nhị diện Toán 11

Chuyên đề QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Toán 11

Dạng toán: XÁC ĐỊNH GÓC NHỊ DIỆN I. LÝ THUYẾT 1. Góc nhị diện

Hình gồm hai nửa mặt phẳng  P ,  Q có chung bờ a được gọi là góc nhị diện, kí hiệu là

  , , P a Q . Đường thẳng a và các nửa mặt phẳng  P ,  Q tương ứng được gọi là cạnh và các

mặt của góc nhị diện đó.

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện   , , P a Q vẽ các tia Ox , Oy tương ứng

thuộc  P ,  Q và vuông góc với a . Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện

  , , P a Q (gọi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc xOy không phụ thuộc vào vị trí của O

trên a , được gọi là số đo của góc nhị diện   , , P a Q .

Mặt phẳng chứa góc phẳng nhị diện xOy của   , , P a Q vuông góc với cạnh a .

Chú ý:

+ Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0 đến 180. Góc nhị diện được gọi là vuông, nhọn, tù nếu nó có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn 90. + Đối với hai điểm , M N không thuộc đường thẳng a , ta kí hiệu   , , M a N là góc nhị diện có

cạnh a và các mặt tương ứng chứa , M N . + Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện lại cũng là góc nhị diện vuông. 2. Phương pháp xác định góc nhị diện

Để xác định góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng  P và  Q , ta thực hiện theo 3 bước:

Bước 1: Tìm giao tuyến     a P Q .

Bước 2: Tìm :   Ox P Ox a và :   Oy Q Oy a .

Bước 3: Kết luận   , , P a Q

Chuyên đề QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Toán 11

II. BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 1: Cho hình chóp .S ABC có   SA ABC  . Gọi H là hình chiếu của A trên BC .

a) Chứng minh rằng     SAB ABC  và     SAH SBC  .

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại 3 , 30 , , 2    a A ABC AC a SA . Tính số đo của góc nhị

diện   , , S BC A .

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD A B C D    có cạnh bằng a . a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương. b) Chứng minh rằng     ACC A BDD B    .

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Chứng minh rằng COC là một góc phẳng của góc nhị diện   , , C BD C. Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện  , , C BD C,   , , A BD C

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD  có   SA ABCD  , đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng

1 , , 2 a AC a SA a   . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình thoi ABCD và H là hình

chiếu của O trên SC . a) Tính số đo của các góc nhị diện     , , ; , , ; , , B SA D S BD A S BD C .

b) Chứng minh rằng BHD là một góc phẳng của góc nhị diện   , , B SC D .

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD A B C D    cạnh a . Xác định và tính góc phẳng nhị diện: a)   , , A BD A; b)   , , C BD A.

Câu 5: Cho hình chóp .S ABC có  , , 120 ,

2 3       a SA ABC AB AC a BAC SA . Gọi M là trung

điểm của BC . Tính số đo của góc nhị diện   , , S BC A .

Câu 6: Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 98 m và cạnh đáy 180 m . Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy?