Chuyên đề đạo hàm - Lê Hải Trung

Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736

Page 1

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM

BÀI 1: KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

A. KIẾM THỨC CƠ BẢN

1. Đạo hàm của hàm só tại một điểm

Hàm số  y f(x) liên tục trên (a;b), được gọi là có đạo hàm tại  0 x (a;b)

Giới hạn hữu hạn ( nếu có) của tỉ số 



0

0

f(x) f(x )

x x khi x dần đến 0 x được gọi

là đạo hàm của hàm số tại điểm 0 x .Ta kí hiệu 0 f'(x ) .

Vậy



  

0 0 x x0 0

f(x) f(x ) f'(x ) lim x x

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc

Muốn tính đạo hàm của hàm số f tại điểm 0 x theo định nghĩa, ta thực hiện

hai bước sau:

 Bước 1: Tính y  theo công thức     0 0 y f x x f x    , trong đó x  là số gia

của biến số tại 0 x

 Bước 2: Tìm giới hạn

0 lim

x

y x 

 .

Trong quy tắc trên và đối với mỗi hàm số được xét, ta luôn hiểu y  là số gia của hàm

số ứng với số gia x  đã cho của biến số tại điểm đang xét

Nhận xét : Nếu hàm số  y f x  có đạo hàm tại điểm 0 x thì nó liên tục tại điểm 0 x

Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736

Page 2

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Đạo hàm của hàm số  y f x  tại điểm 0 x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ

thị hàm số tại điểm     0 0 ; M x f x .

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm     0 0 ; M x f x là:

     0 0 0 ' . y f x x x f x    .

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm     0 0 ; M x f x

 Song song với đường thẳng y ax b      0 ' f x a 

 Vuông góc với đường thẳng y ax b      0 ' . 1 f x a 

 Tạo với tia Ox một góc     0 ' tan f x  

4. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

Vận tốc tức thời  0 v t tại thời điểm 0t ( hay vận tốc tại 0t ) của một chuyển

động có phương trình  s s t  bằng đạo hàm của hàm số  s s t  tại điểm  s s t  ,

tức là:   0 0 ' v t s t  .

5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

 Hàm số f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b) .

 Hàm số f(x) có đạo hàm trên [a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b)

đồng thời tồn tại đạo hàm trái  f'(b ) và đạo hàm phải  f'(a ).

Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736

Page 3

B. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính đạo hàm tại 1 điểm

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm

Bước 1: Tính y  theo công thức     0 0 y f x x f x    , trong đó x  là số

gia của biến số tại 0 x

Bước 2: Tìm giới hạn

0 lim

x

y x 

 .

Ví dụ 1. Cho hàm số 

2 2 , f x x x   có x  là số gia của đối số tại 1, x  y  là số gia

tương ứng của hàm số. Khi đó y  bằng:

A.  

2 2 . x x   B.  

2 4 . x x   C.  

2 2 3. x x   D. 3.

Hướng dẫn giải

          2 2 1 1 1 2 1 1 2 4 . y f x f x x x x           

Chọn đáp án là B.

Ví dụ 2. Cho hàm số  3 2, f x x   có x  là số gia của đối số tại 2. x 

Khi đó y x   bằng:

A. 3 2 . x

x 

 B. 3 6 . x

x 



C. 3 4 2. x

x    D. 3 2 2 . x

x   

Lời giải

Tập xác định của hàm số đã cho là 2 ; . 3 D      

Khái niệm đao hàm Ths. Lê Hải Trung 0984 735 736

Page 4

Với x  là số gia của đối số tại 2 x  sao cho 2 , x D  thì

  3 2 2 3.2 2. y x     

Khi đó 3 4 2. y x x x      

Chọn đáp án là C.

Ví dụ 3. Cho hàm số 

2 2

1 x x y C x

   Đạo hàm của hàm số đã cho tại 1, x  bằng:

A. 1 . 4 B. 1 . 2  C. 0. D. 1 . 2

Lời giải

Với x  là số gia của đối số tại 1, x  ta có

     

     

2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 ; . 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x x y x y x x x x                  

  0 0

2 1 1 lim lim . 2 2 4 x x y x x x         Vậy  1 ' 1 . 4 y 

Chọn đáp án là A.

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến

Sử dụng công thức viết tiếp tuyến tại 1 điểm

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm     0 0 ; M x f x là:

     0 0 0 ' . y f x x x f x    .

Ví dụ 4: Cho hàm số 

2 2

1 x x y C x

   . Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm

1 1; 2 A       

là:

A.   1 1 1 . 4 2 y x    B.   1 1 1 . 2 4 y x   