Tài liệu tự học chủ đề đạo hàm - Trần Quốc Nghĩa

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm và biên tập) 1

ĐẠO HÀM

Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

 Mở đầu

Nhiều bài toán của toán học, vật lí, hóa học, sinh học, kĩ thuật, … đòi hỏi phải tìm giới hạn dạng:

  

0

0

0 lim x x

f x f x

x x 





trong đó  f x là một hàm số đã cho của đối số x .

Qua Đại số và Giải tích 11, ta biết định nghĩa và kí hiệu của số gia đối số và số gia tương ứng của hàm số:  Số gia đối số là 0 – x x x 

 Số gia tương ứng của hàm số là    0 – y f x f x 

Ta sẽ dùng khái niệm và kí hiệu đó viết các giới hạn trên:   

0

0

0 0 lim lim x x x f x f x y x x x       

 Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số  y f x  , xác định trên   ; a b và   0 ; x a b 

Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại 0x , khi số gia đối số

dần tới 0 , được gọi là đạo hàm của hàm số  y f x  tại điểm 0x .

Đạo hàm của hàm số  y f x  tại 0x được kí hiệu là   0 y x  hoặc   0 f x  :

    

0

0 0

0 lim x x

f x f x f x x x 

   

hoặc   0 0 lim

x

y y x x 

   

 Đạo hàm một bên

a. Đạo hàm bên trái của hàm số  y f x  tại điểm 0x , kí hiệu là   0 f x  được định nghĩa là

    

0

0 0 0 0 lim lim x x x

f x f x y f x x x x   

 

      

trong đó 0 x x  được hiểu là 0 x x  và  0 x x .

b. Đạo hàm bên phải của hàm số  y f x  tại điểm 0x , kí hiệu là   0 f x  được định nghĩa là

    

0

0 0 0 0 lim lim x x x

f x f x y f x x x x   

 

      

trong đó   0 x x được hiểu là  0 x x và  0 x x .

Định lí: Hàm số  y f x  có đạo hàm tại điểm 0x thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu

  0 f x  và   0 f x  tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có:       0 0 0 f x f x f x        .

 Đạo hàm trên một khoảng

Định nghĩa: a. Hàm số  y f x  được gọi là có đạo hàm trên khoảng   ; a b nếu nó có đạo hàm tại mọi

điểm trên khoảng đó.

2 Chủ đề

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – ĐẠO HÀM 2

b. Hàm số  y f x  được gọi là có đạo hàm trên đoạn   ; a b nếu nó có đạo hàm trên khoảng

  ; a b và có đạo hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại b .

Qui ước: Từ nay, khi ta nói hàm số  y f x  có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào,

thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho.

 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của h.số

Định lí: Nếu hàm số  y f x  có đạo hàm tại điểm 0x thì nó liên tục tại điểm đó.

 Chú ý: 1. Đảo lại không đúng, tức là một hàm số liên tục tại điểm 0 x có thể không có

đạo hàm tại điểm đó 2. Như vậy, hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó.

 Ý nghĩa của đạo hàm

1. Ý nghĩa hình học

a. Tiếp tuyến của đường cong phẳng:

Cho đường cong phẳng  C và một điểm cố định 0 M trên

 C , M là điểm di động trên  C . Khi đó 0 M M là một cát

tuyến của  C .

Định nghĩa: Nếu cát tuyến 0 M M có vị trí giới hạn 0 M T khi điểm M di chuyển trên

 C và dần tới điểm 0 M thì đường thẳng 0 M T được gọi là tiếp tuyến của đường cong

 C tại điểm 0 M . Điểm 0 M được gọi là tiếp điểm.

b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số  y f x  xác định trên khoảng   ; a b và

có đạo hàm tại   0 ; x a b  , gọi  C là đồ thị hàm số đó.

Định lí 1: Đạo hàm của hàm số  f x tại điểm 0x là

hệ số góc của tiếp tuyến 0 M T của  C tại điểm

    0 0 0 ; M x f x

c. Phương trình của tiếp tuyến:

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C của hàm số  y f x  tại điểm

    0 0 0 ; M x f x là

  0 0 – – y y f x x x  

2. Ý nghĩa vật lí

a. Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:  s f t  , với

 f t là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm 0t là

đạo hàm của hàm số  s f t  tại 0t .

   0 0 0 v t s t f t    

b. Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương

trình:  Q f t  , với  f t là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của …