50 bài toán thực tế liên quan đạo hàm - tích phân có lời giải

Trang 1

TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẠO HÀM - TÍCH PHÂN

Câu 1. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại , C cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy ( ). ABC Biết 1 SC = , tìm thể tích lớn nhất của khối chóp . . S ABC

A. 3 . 12 B. 2 . 12 C. 2 3 . 27 D. 3 . 27

Câu 2. Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp (hình vẽ).

Để thể tích khối chóp lớn nhất thì cạnh đáy x của hình chóp bằng:

A. 2 . 5 x = B. 2 2 . 5 x = C. 2 2. x = D. 2. 5 x =

Câu 3. Tìm chiều dài L ngắn nhất của cái thang để có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ

có chiều cao 3 3 m 2 và cách tường 0,5 m kể từ gốc của cột đỡ.

A. 2m . B. 4m . C. 3m . D. 5m .

Câu 4. Một con kiến đậu ở đầu B của một thanh cứng mảnh AB có chiều dài L đang dựng cạnh một bức tường thẳng đứng (hình vẽ).

Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu chuyển động sang phải theo sàn ngang với vận tốc không đổi

v thì con kiến bắt đầu bò dọc theo thanh với vận tốc không đổi u đối với thanh. Trong quá trình bò trên thanh, con kiến đạt được độ cao cực đại max h là bao nhiêu đối với sàn? Cho đầu A

của thanh luôn tỳ lên tường thẳng đứng.

A.

2 3L v . B.

2 2L v . C.

2

3 L v . D.

2

2 L v .

Trang 2

Câu 5. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu. Hộp có đáy là một hình vuông

cạnh ( ) cm x , chiều cao ( ) cm h và có thể tích là ( ) 3 500 cm .

Tìm x sao cho diện tích mảnh các tông đó nhỏ nhất?

A. 5cm. B. 100cm . C. 10cm . D. 20cm .

Câu 6. Một nhà máy cần sản xuất một bể nước bằng tôn có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có

chiều dài gấp 2 lần chiều rộng không nắp, có thể tích 3 4 m 3 . Hãy tính độ dài chiều rộng của đáy

hình hộp sao cho tốn ít vật liệu nhất.

A. 2 m. B. 3 m. C. 2 3 m . D. 1 m.

Câu 7. Cho hai vị trí A , B cách nhau 615 m , cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118 mvà 487 m . Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B .

Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là A. 596,5m . B. 671,4m . C. 779,8m . D. 741,2m .

Câu 8. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là:

2

1

x

y t

z t

=   = −  = + 

và hai điểm ( ) 1; 2; 1 A − − , ( ) 4;4;5 B . Giả sử ( ) ; ; M a b c thuộc ∆ sao cho MA MB +

nhỏ nhất, khi đó tích abc là

A. 0 . B. 2 9 . C. 1. D. 2 .

Trang 3

Câu 9 . Một trang chữ của cuốn sách giáo khoa cần diện tích 2 384cm . Lề trên và dưới là 3cm , lề trái

và phải là 2cm . Kích thước tối ưu của trang giấy là:

A. Dài 24cm ; rộng 16cm . B. Dài 24cm ; rộng 17cm .

C. Dài 25cm ; rộng 15,36cm . D. Dài 25,6cm ; rộng 15cm.

Câu 10. Có một cơ sở in sách xác định rằng: Diện tích của toàn bộ trang sách là 2 0 ) (cm S . Do yêu cầu kỹ

thuật nên dòng đầu và dòng cuối đều phải cách mép (trên và dưới) trang sách là (cm) a . Lề bên

trái và bên phải cũng phải cách mép trái và mép phải của trang sách là (cm) b ( ) b a < . Các kích

thước của trang sách là bao nhiêu để cho diện tích phần in các chữ có giá trị lớn nhất. Khi đó hãy tính tỉ lệ của chiều rộng và chiều dài trang sách.

A. b a a − . B. 2 2 1 b a −. C. b a . D. b a a + .

Câu 11. Một anh kỹ sư muốn tạo ra 1 cái lu hình trụ có diện tích bề mặt (không tính hai mặt đáy) là lớn nhất. Bề mặt lu được quấn bởi mảnh tôn hình chữ nhật có chu vi 120 cm. Gọi chiều dài của hình

chữ nhật là a , chiều rộng của hình chữ nhật là b . Tính 2 3 P a b = + .

A. 990. B. 1660. C. 2530. D. 1108. Câu 12. Bác nông dân có 200m rào để ngăn đàn gà nuôi dạng hình chữ nhật. Để diện tích nuôi gà là lớn

nhất thì chiều dài hình chữ nhật là a (m) và chiều rộng là b (m). Khi đó 2 2 a ab b + + có giá trị bằng

A. 7525 m. B. 7600 m. C. 7500 m. D. 7900 m.

Câu 13. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng x y + để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 7cm . B. 5cm. C. 7 2 cm 2 . D. 4 2 cm .

Câu 14. Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4m và đặt …