Bài giảng định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Trang 1

ĐẠO HÀM

BÀI GIẢNG ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu khái niệm đạo hàm, đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải, đạo hàm trên khoảng, trên đoạn.

+ Nắm được quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.

+ Biết cách tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một

điểm.

+ Trình bày được ứng dụng đạo hàm vào giải bài toán vật lý.

 Kĩ năng

+ Tính được đạo hàm của hàm số tại một điểm, trên một khoảng bằng cách dùng định nghĩa.

+ Biết cách tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

một điểm.

+ Vận dụng được đạo hàm vào giải bài toán vật lí.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số  y f x  xác định trên khoảng   ;a b và   0 ; . x a b 

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)   

0

0

0 lim x x

f x f x x x    thì giới hạn đó

được gọi là đạo hàm của hàm số  y f x  tại 0x và kí hiệu là

  0 f x  có nghĩa là

    

0

0 0 0 0 lim lim x x x f x f x y f x x x x         

Trong đó

0 x x x   gọi là số gia của đối số x tại 0x .

       0 0 0 y f x f x f x x f x      gọi là số gia tương ứng

của hàm số.

2. Đạo hàm bên trái, bên phải

    

0

0 0 0 lim ; x x

f x f x f x x x  

    

    

0

0 0 0 lim . x x

f x f x f x x x  

    

Hệ quả: Hàm  f x có đạo hàm tại 0x khi và chỉ khi tồn tại   0 f x 

và   0 f x  , đồng thời     0 0 . f x f x     

3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

- Hàm số  y f x  có đạo hàm trên   ;a b nếu nó có đạo hàm tại mọi

điểm thuộc   ;a b .

- Hàm số  y f x  có đạo hàm trên   ;a b nếu  f x

+ Có đạo hàm tại mọi   ; x a b  ;

+ Có đạo hàm trái  ; f b 

+ Có đạo hàm phải  . f a 

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Nếu hàm số  y f x  có đạo hàm tại 0x thì nó liên tục tại 0x .

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số  y f x  tại điểm 0x là hệ số góc của tiếp

Chú ý:

+ Nếu  y f x  gián đoạn

tại 0x thì nó không có đạo hàm

tại 0x .

TOANMATH.com Trang 3

tuyến 0 M T của đồ thị hàm số tại điểm     0 0 0 ; . M x f x

Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y f x  tại điểm

    0 0 0 ; M x f x là    0 0 0 y y f x x x     trong đó   0 0 . y f x 

6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

+ Vận tốc tức thời :   0 0 ; v t s t  

+ Gia tốc:      0 0 0 ; a t v t s t     

+ Cường độ dòng điện tức thời:   0 0 . I t Q t  

+ Nếu  y f x  liên tục tại

0x có thể không có đạo hàm tại

0x .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Đạo hàm trên một đoạn Hàm số  y f x  có đạo

hàm trên   ;a b nếu

    

 

, ; f x x a b

f b

f a





           

Đạo hàm trên một khoảng Hàm số  y f x  có đạo

hàm trên   ;a b nếu nó có

đạo hàm tại mọi điểm thuộc   ;a b

ĐẠO HÀM

Đạo hàm tại

một điểm

Đạo hàm một bên

    

0

0 0 0 0 lim lim x x x f x f x y f x x x x         

     0 0 ; x x x y f x f x    

Đạo hàm phải

    

0

0 0 0 lim ; x x

f x f x f x x x  

    

Đạo hàm trái

    

0

0 0 0 lim . x x

f x f x f x x x  

    