Bài giảng các quy tắc tính đạo hàm

Trang 1

ĐẠO HÀM

BÀI GIẢNG QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được quy tắc và các công thức tính đạo hàm.

+ Trình bày được cách tìm đạo hàm thích hợp.

+ Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.

 Kĩ năng

+ Tìm được đạo hàm các hàm số thường gặp, đạo hàm hàm số hợp.

+ Viết được phương trình tiếp tuyến và giải quyết các bài toán liên quan.

+ Vận dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình,; chứng minh đẳng thức, bất đẳng

thức, tính giới hạn.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

 0,  c c là hằng số;

 1;  x

2 1 1 ;        x x

 

1 ; 2  x x

  1 .   n n x n x ( với n là số tự nhiên).

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.

Cho các hàm số   ;   u u x v v x có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

1.   ;       u v u v

2.   ;       u v u v

3.   . ;      u v u v v u

4.    2 0 .            

u u v v u v v x v v

Chú ý:

a)   .    k v kv ( k: hằng số);

b)    2 1 0          

v v v x v v .

Mở rộng:

   1 2 1 2 ... ... ;            n n u u u u u u

   . .w . .w . .w . .w .        u v u v u v u v

3. Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số       y f u x f u với   u u x .

Khi đó: .     x u x y y u .

4. Bảng công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp  u u x 

TOANMATH.com Trang 3

 0,  c c là hằng số

 1  x

2 1 1        x x

 

1 2  x x

  1 .    x a x

2 1        

u u u

  2

  u u u

  1 . .        u u u

5. Đạo hàm các hàm số lượng giác

a) Giới hạn của sin x x .

Định lý:

0 sin lim 1   x x x .

Chú ý: Nếu hàm số   u u x thỏa mãn điều kiện:  0  u x với mọi 0  x x và 

0 lim 0   x x u x thì

  0 sin lim 1.   x x u x

u x

b) Đạo hàm của hàm số sin  y x

Định lý:

Hàm số sin  y x có đạo hàm tại mọi  x và   sin cos  x x

Chú ý: Nếu sin  y u và   u u x thì   sin .cos    u u u .

c) Đạo hàm của hàm số cos  y x

Định lý:

Hàm số cos  y x có đạo hàm tại mọi  x và   cos sin  x x

Chú ý: Nếu cos  y u và   u u x thì   cos .sin    u u u

d) Đạo hàm của hàm số tan  y x

Định lý:

Hàm số tan  y x có đạo hàm tại mọi , 2      x k k và   2 1 tan cos  x x .

Chú ý: Nếu tan  y u và   u u x có đạo hàm trên    , 2      K u x k k với mọi  x K .

Khi đó trên K ta có:   2 tan cos   u u u .

TOANMATH.com Trang 4

e) Đạo hàm của hàm số cot  y x

Định lý:

Hàm số cot  y x có đạo hàm tại mọi ,    x k k và   2 1 cot sin  x x .

Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác

  sin cos  x x   sin .cos    u u u

  cos sin  x x     cos .sin u u u

  2 1 tan cos  x x   2 tan cos   u u u

  2 1 cot sin  x x   2 cot sin   u u u

Chú ý: Nếu cot  y u và   u u x có đạo hàm trên K,       u x k k với mọi  x K . Khi đó trên K ta

có:   2 cot sin   u u u .

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số   y f x tại điểm 0x là hệ số góc của tiếp tuyến

với đồ thị (C) của hàm số tại điểm   0 0 ; M x y .

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm   0 0 ; M x y là:    0 0 0     y y x x x y

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm 0x

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Các quy tắc và công thức tính đạo hàm

Bài toán 1. Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Phương pháp giải

Áp dụng bảng công thức và quy tắc tính đạo

hàm

 Công thức đạo hàm

  1 .   n n x n x (với n là số tự nhiên).

 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Cho các hàm số   ;   u u x v v x có đạo

hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Ta có:

a)   1 2 1 2 ... ... u            n n u u u u u .

Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số

3 2 2 1 3     x y x x x

Hướng dẫn giải

Ta có     3 2 2 1 3      …