Bài giảng vi phân và đạo hàm cấp cao

Trang 1

ĐẠO HÀM

BÀI GIẢNG VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Trình bày được định nghĩa vi phân.

+ Trình bày được phương pháp tính gần đúng nhờ vi phân.

+ Trình bày được phương pháp tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…, cấp n.

 Kĩ năng

+ Tính được vi phân của hàm số  f x tại 0x cho trước.

+ Tìm vi phân của hàm số  f x .

+ Biết cách tính gần đúng một số dựa vào vi phân.

+ Biết tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…., cấp n.

+ Biết chứng minh được đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan

đến đạo hàm cấp 2,3.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Vi phân

Cho hàm số  y f x  xác định trên   ;a b và có đạo hàm tại

  ; x a b  . Gọi x  là số gia của x .

Ta gọi tích . f x x  là vi phân của hàm số  y f x  tại x ứng với số

gia x . Kí hiệu  df x hoặc dy , tức là

 . dy df x f x x    .

Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng

Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là

      0 0 0 . . f x x f x f x x     

Đạo hàm cấp cao

+ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f . Nếu f  cũng có

đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được

kí hiệu là f , tức là   f f     .

+ Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp 1 n 

( với , 2 n n    ) là  1 n f

. Nếu  1 n f

 cũng có đạo hàm thì đạo hàm

của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là  n f , tức là

     1 n n f f    .

+ Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai  s t  là gia tốc tức thời của chuyển động  s s t 

tại thời điểm t .

Nếu chọn hàm số y x  thì ta

có 1. dy dx x x   .

Do vậy ta thường kí hiệu

x dx  và  dy f x dx   .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính vi phân

Bài toán 1. Tìm vi phân của hàm số

Phương pháp giải

TOANMATH.com Trang 3

a) Tính vi phân của hàm số  f x tại 0x cho trước:

- Tính đạo hàm của hàm số tại 0x .

- Vi phân của hàm số tại 0x ứng với số gia x  là

    0 0 . df x f x x   .

b) Tìm vi phân của hàm số  f x .

- Tính đạo hàm của hàm số.

- Vi phân của hàm số  . dy df x f x x    .

Ví dụ. Cho hàm số 3 2 3x 2x 7 y x    

a)Tính vi phân của hàm số tại điểm 0 1 x ,ứng với

số gia 0,02 x  .

b) Tìm vi phân của hàm số.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 

2 3 6 2 y f x x x       .

Do đó vi phân của hàm số tại điểm 0 1 x ,ứng với

số gia 0,02 x  là

    2 1 1 . 3.1 6.1 2 .0,02 0,14 df f x       .

b)    2 . 3 6 2 dy f x x x x dx      .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số 3 2 4 5 y x x   . Tính vi phân của hàm số tại điểm 0 1 x , ứng với số gia

0,02 x  .

Hướng dẫn giải

Ta có 

2 3 4 y f x x x      . Do đó vi phân của hàm số tại điểm 0 1 x ,ứng với số gia 0,02 x  là

    2 1 1 . 3.1 4.1 .0,02 0,02 df f x      .

Ví dụ 2. Tìm vi phân của hàm số 2 1 x y x  

Hướng dẫn giải

Ta có

     

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1

x x x x x y dy y dx dx x x x x

                        .

Bài toán 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số

Phương pháp giải

Để tính gần đúng giá trị của hàm số  f x

tại điểm   0 x x x   cho trước, ta áp dụng

công thức       0 0 0 . f x x f x f x x     .

Ví dụ. Tính gần đúng giá trị của 49,25 (lấy 5

chữ số thập phân trong kết quả).

Hướng dẫn giải

Ta có 49,25 49 0,25   .

Xét hàm số   1 2 f x x f x

x     .