Chuyên đề đạo hàm Toán 11 KNTTVCS

CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI 31: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA ĐẠO HÀM

1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên khoảng ( ) ;a b và ( ) 0 ; x a b ∈ .

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ( ) ( )

0

0

0 lim x x f x f x

x x → −

− thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của ( ) f x

tại điểm 0x , kí hiệu là ( ) 0 f x ′ hay ( ) 0 y x ′ , tức là

( ) ( ) ( )

0

0 0 0 lim x x f x f x f x x x → − ′ = −

Để tính đạo hàm của hàm số ( ) y f x = tại ( ) 0 ; x a b ∈ , ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tính ( ) ( ) 0 f x f x − .

Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số ( ) ( ) 0

0

f x f x x x − − với ( ) 0 ; , x a b x x ∈ ≠

Bước 3. Tính giới hạn ( ) ( )

0

0

0 lim x x f x f x x x → − − .

Chú ý: Trong định nghĩa và quy tắc trên đây, thay 0x bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính

đạo hàm của hàm số ( ) y f x = tại điểm ( ) ; x a b ∈ .

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG

Hàm số ( ) y f x = được gọi là có đạo hàm trên ( ; ) a b nếu nó có đạo hàm ( ) f x ′ tại mọi điểm

thuộc ( ; ) a b . Kí hiệu là: ( ) y f x ′ ′ =

4. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

CHƯƠNG

IX

ĐẠO HÀM

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) y f x = tại điểm ( ) ( ) 0 0 ; P x f x là đường thẳng đi qua P với hệ

số góc ( ) ( )

0

0

0 lim x x f x f x k x x → − = − nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn, nghĩa là ( ) 0 k f x ′ = . Điểm P

gọi là tiếp điểm.

b) Phương trình tiếp tuyến

Nếu hàm số ( ) y f x = có đạo hàm tại 0x thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

( ) 0 0 ; P x y là: ( )( ) 0 0 0 y y f x x x ′ − = − trong đó ( ) 0 0 y f x = .

DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

Để tính đạo hàm của hàm số ( ) y f x = tại ( ) 0 ; x a b ∈ , ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tính ( ) ( ) 0 f x f x − .

Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số ( ) ( ) 0

0

f x f x x x − − với ( ) 0 ; , x a b x x ∈ ≠

Bước 3. Tính giới hạn ( ) ( )

0

0

0 lim x x f x f x x x → − − .

• 0 0 0 0

( ) ( ) '( ) lim x x f x f x f x x x → − = −

•

0

0 0 0

( ) ( ) '( ) lim + +

→ − = − x x f x f x f x x x

• 0 0 0 0

( ) ( ) '( ) lim x x

f x f x f x x x

−

− →

− = −

• Hàm số ( ) = y f x có đạo hàm tại điểm 0 0 0 '( ) '( ) + − = ⇔ = x x f x f x

• Hàm số ( ) = y f x có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.

Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:

( ) 3 2 1 y f x x x = = + − tại 0 0 x =

Câu 2: Tính đạo hàm tại 1 điểm

a. ( ) 2 1 1 y f x x x = = + + tại 0 2 x = −

HỆ THỐNG BÀI TẬP. II

PHƯƠNG PHÁP. 1

BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2

CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN – 11 – ĐẠO HÀM

Page 3 Sưu tầm và biên soạn

b. ( )

2 3 2 1 x x y f x x + − = = − tại 0 3 x =

Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ:

1. 3 ( ) 2 1 = + f x x tại = x 2

2. 2 ( ) 1 = + f x x tại = x 1

3.

3 2 1 1 khi 0 ( ) 0 khi 0

 + + −  ≠ =   = 

x x x f x x x

tại 0 = x

Câu 4: Tìm a để hàm số ( )

2 1 khi 1 1 khi 1

x x f x x a x

 −  ≠ =  −  = 

có đạo hàm tại 1 x =

DẠNG 2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN 1 KHOẢNG

Để tính đạo hàm của hàm số ( ) y f x = tại ( ) 0 ; x a b ∈ bất kì, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tính ( ) ( ) 0 f x f x − .

Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số ( ) ( ) 0

0

f x f x x x − − với ( ) 0 ; , x a b x x ∈ ≠

Bước 3. Tính giới hạn ( ) ( )

0

0

0 lim x x f x f x x x → − − .

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số sau: a. ( ) 2 3 1 y f x x x = = − + b. ( ) 3 2 y f x x x = = − c. ( ) 4 3 y f x x = = +

DẠNG 3. Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

a. Ý nghĩa hình học

Đạo hàm của hàm số ( ) = y f x tại điểm 0x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

( ) ( ) 0 0 0 ; M x f x . Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( ) 0; o M x y là ( ) ′ = 0 k f x .

Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm 0 M có dạng:

( )( ) ( ) ′ = − + 0 0 0 y f x x x f x

b. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

PHƯƠNG PHÁP. 1

BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2

PHƯƠNG PHÁP. 1