Bài giảng đạo hàm Toán 11 KNTTvCS

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

CHƯƠNG IX. ĐẠO HÀM

BÀI 31. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

THUẬT NGỮ

• Đạo hàm tại một điểm

• Đạo hàm trên một khoảng

• Hệ số góc của tiếp tuyến

• Vận tốc tức thời

• Tốc độ biến đổi tức thời

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

• Nhận biết một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm.

• Nhận biết định nghĩa đạo hàm. Tính đạo hàm cùa một số hàm đơn giản bằng định nghĩa.

• Nhận biết ý nghĩa hình học của đạo hàm. Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị.

• Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải quyết một số bài toán thực tiễn.

Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của toà nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao 461,3 m xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không khí).

1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng

HĐ1. Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số cùa thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động).

a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t.

b) Giới hạn ( ) ( )

0

0

0 lim t t s t s t

t t → −

− cho ta biết điều gì?

Lời giải

a) Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t là: ( ) 0

0

( )

av s t s t v t t

− = −

b) Giới hạn ( ) ( )

0

0

0 lim t t s t s t

t t → −

− cho ta biết ( )

0

0

0

( ) lim t t s t s t v t t − − = −

b) Cường độ tức thời

HĐ2. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t , có dạng ( ) Q Q t = .

a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ 0t đến t .

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-KNTT VỚI CS  WEB: Toanthaycu.com

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2

GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133

b) Giới hạn ( )

0

0

0

( ) lim t t Q t Q t

t t → −

− cho ta biết điều gì?

Lời giải

a) Cường độ trung bình ( ) 0

0

( ) Q t Q t I t t

− = −

b) Giới hạn này cho biết cường độ dòng điện tại thời điểm 0t .

Nhận xét. Nhiều bài toán trong Vật lí, Hóa học, Sinh học,... đưa đến việc tìm giới hạn dạng

( )

0

0

0

( ) lim , x x f x f x

x x → −

− ở đó ( ) y f x = là một hàm số đã cho.

Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.

2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên khoảng ( , ) a b và điểm 0 ( ; ) x a b ∈ .

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ( )

0

0

0

( ) lim x x f x f x

x x → −

− thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số

( ) y f x = tại điểm 0x , kí hiệu bởi ( ) 0 f x ′ (hoặc ( )) 0 y x ′ , tức là ( ) ( ) 0 0 0

( ) lim . x f x f x f x x x →∞ − ′ = −

Chú ý. Để tính đạo hàm của hàm số ( ) y f x = tại điểm 0 ( ; ) x a b ∈ , ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tính ( ) 0 ( ) f x f x − .

2. Lập và rút gọn tỉ số ( ) 0

0

( ) f x f x

x x

−

− với 0 ( ; ), x a b x x ∈ ≠ .

3. Tìm giới hạn ( )

0

0

0

( ) lim x x f x f x

x x → −

− .

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số 2 ( ) 2 y f x x x = = + tại điểm 0 1 x = .

Lời giải

Ta có: 2 2 ( ) (1) 2 3 1 2 2 ( 1)( 3) f x f x x x x x x − = + − = −+ − = − + .

Với ( ) (1) ( 1)( 3) 1, 3 1 1 f x f x x x x x x − − + ≠ = = + − − .

Tính giới hạn:

1 1 ( ) (1) lim lim( 3) 4 1 x x f x f x x → → − = + = − .

Vậy (1) 4 f ′ = .

Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau:

( ) 2

1 1 1 1 2 3 ( ) (1) ( 1)( 3) (1) lim lim lim lim( 3) 4. 1 1 1 x x x x x x f x f x x f x x x x → → → → + − − − + ′ = = = = + = − − −

Chú ý. Đặt 0 h x x = − , khi đó đạo hàm của hàm số đă cho tại điểm 0 1 x = có thể tính như sau:

( ) 2 2

0 0 (1 ) 2(1 ) 1 2 (1 ) (1) (1) li m lim h h h h f h f f h h → →   + + + − + + −   ′ = = ( ) 2

0 0 4 3 3 lim lim( 4) 4 h h h h h h → → + + − = = + = .