Bài giảng đạo hàm Toán 11 Cánh Diều

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com

Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 1

CHƯƠNG VII. ĐẠO HÀM Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu những vấn đề sau: định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm; các quy tắc tính đạo hàm; đạo hàm bậc hai.

BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

Tên lửa vũ trụ là phương tiện được chế tạo đặc biệt giúp con người thực hiện các sứ mệnh trong không gian như: tiếp cận đến các hành tinh ngoài Trái Đất, vận chuyển con người và thiết bị lên vũ trụ,.. (Hình 1). Nếu quỹ đạo chuyển động của tên lửa được miêu tả bằng hàm số theo thời gian thì đại lượng nào biểu thị độ nhanh chậm của chuyển động tại một thời điểm?

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

a) Bài toán tìm vận tốc tức thời Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta thả một viên bi cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi. Bằng việc chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống

đất, gốc O là vị trí ban đầu của viên bi, tức là tại thời điểm 0 giây, và bỏ qua sức cản không khí, ta nhận

được phương trình chuyển động của viên bi là ( )

2 1 2 y f x gx = = ( g là gia tốc rơi tự do, 2 9,8 / g m s ≈ ).

Giả sử tại thời điểm 0x , viên bi ở vị trí 0 M có ( ) 0 0 y f x = ; tại thời điểm 1x , viên bi ở vị trí 1 M có

( ) 1 1 y f x = . Khi đó, trong khoảng thời gian từ 0x đến 1x , quãng đường viên bi đi được

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com

Bản word đề và lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 2

là ( ) ( ) 0 1 1 0 M M f x f x = − (Hình 2). Vậy vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời gian đó là .

Nếu 1 0 x x − càng nhỏ thì tỉ số trên càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của viên bi tại thời điểm

0x . Từ đó, người ta xem giới hạn của tỉ số ( ) ( ) 1 0

1 0

f x f x x x − − khi 1x dần 0x là vận tốc tức thời tại thời điểm

0x của viên bi, kí hiệu là ( ) 0 v x . Nói cách khác, ( ) ( ) ( )

1 0

1 0 0 1 0 lim x x f x f x v x x x → − = − . Giá trị ( ) 0 v x gọi là đạo hàm

của hàm số ( )

2 1 2 y f x gx = = tại thời điểm 0x .

b) Bài toán tìm cường độ tức thời

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t , ( ) Q Q t = . Cường độ trung bình trong

khoảng thời gian 0 t t − được xác định bởi công thức ( ) ( ) 0

0

Q t Q t t t − − .

Nếu 0 t t − càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm 0t . Người

ta đưa ra định nghĩa sau đây:

Giới hạn hữu hạn (nếu có) ( ) ( )

0

0

0 lim t t Q t Q t t t → − − được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm 0t

. 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Hoạt động 1. Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm 0 1 x s = trong bài toán tìm vận tốc tức thời.

Lời giải

Vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm 0 1 x s =

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

2 2 2 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 .1 .9,5 .9,8 1 2 2 2 2 1 lim lim lim 9,8 / 1 1 1 x x x

gx g x f x f v m s x x x → → →

− − − = = = = − − −

Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: