Bài giảng đạo hàm Toán 11 CTST

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1

CHƯƠNG VII. ĐẠO HÀM

BÀI 1. ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Đạo hàm

HĐ 1: Quãng đường rơi tự do của một vật được biểu diễn bởi công thức

2 ( ) 4,9 s t t = với t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét.

Vận tốc trung bình của chuyển động này trên khoảng thời gian [5 ; t] hoặc [t ; 5] được tính bằng công

thức ( ) (5) 5 s t s t − −

a) Hoàn thiện bảng sau vể vân tốc trung bình trong những khoảng thời gian khác nhau. Nêu nhận xét về

( ) (5) 5 s t s t − − khi t càng gần 5 .

b) Giới hạn ( )

5 ( ) lim 5

5

t s t s

t → −

− được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 0 5 t = . Tính giá

trị này.

c) Tính giới hạn ( )

0

0

0

( ) lim t t s t s t

t t → −

− để xác định vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điềm 0t nào đó

trong quá trình rơi của vật.

Lời giải

a)

Khoảng thời gian

53,9 49,49 49,24 5

49,04 9

49,004 9

48,995 1

48,95 1

[ ] 5;6 [ ] 5;5,1 [ ] 5;5,05 [ ] 5;5,01 [5;5,001 [4,999;5 [ ] 4,99;5

( ) ( ) 5

5

s t s

t

−

−

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2

Mở rộng tình huống trong hoạt động trên, giả sử ( ) s t là tọa độ tại thời điểm t của một chất điểm chuyển

động thẳng trên trục s Os ′ (Hình 2 ).

Khi đó, giới hạn ( )

0

0

0

( ) lim t t s t s t

t t → −

− được gọi là vận tốc tức thời của chuyến động tại thời điểm 0t , kí hiệu

( ) 0 v t . Giới hạn này cũng được gọi là đạo hàm của hàm số ( ) s t theo thởi gian t tại thời điểm 0t , kí

hiệu ( ) 0 s t ′ .

Vậy ( ) ( ) ( )

0

0 0 0 0

( ) lim . t t s t s t v t s t t t

′

→ − = = −

Tổng quát, ta có định nghĩa đạo hàm của hàm số bất kì như sau:

Ví dụ 1. Cho hàm số 2 ( ) f x x = . Tỉnh ( ) 0 f x ′ với 0x ∈.

Lời giải

Ta có ( ) ( ) ( )

0 0 0

2 2 0 0 0 0 0 0 0

( ) lim lim lim 2 x x x x x x f x f x x x f x x x x x x x x

′

→ → → − − = = = + = − − .

Chú ý

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

5 5

2 2

5 5

5

5 4,9 4,9.5 b) lim lim 5 5

4,9 5 4,9 5 5 lim lim 5 5 lim4,9 5 4,9 5 5 49

t t

t t

t

s t s t t t

t t t

t t t

→ →

→ →

→

− − = − −

− − + = = − − = + = + =

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

0 0

0 0

0

2 2 0 0

0 0

2 2 0 0 0

0 0

0 0 0 0

4,9 4,9. c) lim lim

4,9 4,9 lim lim

lim4,9 4,9 9,8

t t t t

t t t t

t t

s t s t t t t t t t

t t t t t t

t t t t

t t t t t

→ →

→ →

→

− − = − −

− − + = = − −

= + = + =

Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên khoảng ( ; ) a b và 0 ( ; ) x a b ∈ .

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ( )

0

0

0

( ) lim x x f x f x

x x → −

−

thì giới hạn này được goi là đạo hàm của hàm số ( ) f x tại 0x , kí hiệu là ( ) 0 f x ′ hoặc ( ) 0 y x ′ .

Vậy:

( ) ( )

0

0 0 0

( ) lim x x f x f x f x x x

′

→ − = −

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com

Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 3

Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên khoảng ( ; ) a b . Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm ( , ) x a b ∈

thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng ( , ) a b , kí hiệu y′ hoặc ( ) f x ′ .

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ( ) ( f x C C = là hằng số ) ) b 1 ( ) f x x = với 0 x ≠ .

Lời giải

a) Với bất kì 0x , ta có:

( )

0 0 4

0

0 0

( ) ( ) lim lim lim 0 0. x x x x x x f x f x C C f x x x x x

′

→ → → − − = = = = − −

Vậy ( ) ( ) 0 f x C ′ ′ = = trên .

a) Với bất kì 0 0 x ≠ , ta có:

( ) ( ) 1 0 0

0 0 0 2 0 0 0 0 0

1 1 1 1 lim lim lim . x x x x x x x x x x f x x x xx x x xx x

′

→ → →

− − − = = = = − − −

Vậy 2 1 1 ( ) f x x x

′ ′   = = −    

trên các khoảng ( ;0) −∞ và (0; ) +∞.

Luyện tập 1. Tính đạo hàm của hàm số 3 ( ) f x x = .

Lời giải

Với bất kì ta có:

Chú ý: Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên khoảng ( ; ) a b , có đạo hàm tại 0 ( ; ) x a b ∈ .

a) Đại lượng 0 x x x ∆= − gọi là số gia của biến tại 0x . Đại lượng ( ) 0 ( ) y f x f x ∆= − gọi là số gia tương

ứng của …