Các bài toán phương trình mũ và phương trình logarit trong đề thi Đại học

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

288

 Chuyên đề 10: MŨ, LOGARIT

 Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1: Dạng cơ bản: với 0 < a  1

     

f(x)

a

b 0 a b f(x) log b

Dạng 2: Đưa về cùng cơ số:  f(x) g(x) a a (1)

 Nếu 0 < a  1: (1)  f(x) = g(x)

 Nếu a thay đổi: (1)  

     

a 0

(a 1) f(x) g(x) 0

Dạng 3: Đặt ẩn phụ: Đặt t = ax, t > 0; giải phương trình      

t 0 g(t) 0

Dạng 4: Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhất.

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Điều kiện tồn tại loga f(x) là      

0 a 1 f(x) 0

Dạng 1:

       a b 0 a 1 log f(x) b

f(x) a

Dạng 2: Đưa về cùng cơ số:

          

a a

0 a 1 log f(x) log g(x) g(x) 0 f(x) g(x)

Dạng 3: Đặt ẩn phụ Đặt t = logax sau đó giải phương trình đại số theo t Dạng 4: Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất

B. ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Giải phương trình:     2 2 1 2 log 8 x log 1 x 1 x 2 0        (x  R).

Giải

    2 2 1 2 log 8 x log 1 x 1 x 2 0        . Điều kiện: –1 x  1.

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

289

     2 2 2 log 8 x log 1 x 1 x 2          2 8 x 4 1 x 1 x      (*).

Với –1 x  1 thì hai vế của (*) không âm nên bình phương hai vế của (*) ta

được: (*)     2 2 2 8 x 16 2 2 1 x         2 2 2 8 x 32 1 1 x     (1).

Đặt t =  2 1 x  t2 = 1 – x2  x2 = 1 – t2 , (1) trở thành:

    2 2 7 t 32 1 t     t4 + 14t2 – 32t + 17 = 0

 (t – 1)(t3 – t2 +15t – 17) = 0  (t – 1)2(t2 + 2t + 17) = 0  t = 1.

Do đó (1)  2 1 x  = 1  x = 0 (Thỏa điều kiện –1 x  1).

Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm x = 0.

Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Giải bất phương trình

2 2 x x x 2x 3 1 x 2x 3 4 3.2 4 0         

Giải

2 2 x x x 2x 3 1 x 2x 3 4 3.2 4 0          

2 2 2x x x 2x 3 2 x 2x 3 2 3.2 .2 4.2 0       



2 2 x 2x 3 x 2( x 2x 3 x) 1 3.2 4.2 0        (1)

Đặt t =

2 x 2x 3 x 2   > 0 (*)

(1) thành 1 – 3t – 4t2 > 0  4t2 + 3t – 1 < 0  1 1 t 4 

Do đó bất phương trình đã cho tương đương:

2 x 2x 3 x 2   < 1

4 = 2-2

 2 2 3 2 x x x      2 x 2x 3 x 2    

 1 1 i z 2 2     7 3 x 2   .

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010

Giải phương trình           3 3 2x x 2 x 2 x 2 x 4x 4 4 2 4 2 (x )

Giải

         3 3 2x x 2 x 2 x 2 x 4x 4 4 2 4 2 (*); Điều kiện : x   2 .

(*)          3 2 x 2 4x 4 x 4x 4 4 (2 1) 2 (2 1) 0        3 4x 4 2 x 2 x (2 1)(4 2 ) 0

Do đó phương trình (*) có hai trường hợp.

      4x 4 2 1 4x 4 0 x 1 (nhận)

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

290

  

3 4 2 x 2 x 2 2     3 x 2 x 2 4      3 x 8 2( x 2 2)

     

 

2 2(x 2) (x 2)(x 2x 4)

x 2 2



 

2

x 2 nhận

2 x 2x 4 (1) x 2 2

          

Nhận xét: Phương trình (1) có:

VT =       2 2 x 2x 4 (x 1) 3 3; VP =    2 1 x 2 2

Suy ra phương trình (1) vô nghiệm. Vậy : (*) chỉ có hai nghiệm x = 1; x = 2.

Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008

Giải phương trình     2 2 2 log (x 1) 6log x 1 2 0

Giải

    2 2 2 log (x 1) 6log x 1 2 0 (1)

Điều kiện x > 1

(1)       2 2 2 log (x 1) 3log (x 1) 2 0

                   

2

2

log (x 1) 1 x 1 2 x 1 log (x 1) 2 x 1 4 x 3

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008

Giải phương trình log2x – 1(2x2 + x – 1) + logx + 1(2x – 1)2 = 4

Giải

Điều kiện:

                        

2

2

0 2x 1 1

1 2x x 1 0 x 1 x 1 2 0 x 1 1 2 x 1 (2x 1) 0

       2 2 2x 1 x 1 log (2x x 1) log (2x 1) 4

 log2x – 1(2x – 1)(x + 1) + logx + 1(2x – 1)2 = 4  1 + log2x – 1(x + 1) + 2logx + 1(2x – 1) = 4

Đặt:  

        2x 1 x 1

2x 1

1 1 t log (x 1) log (2x 1) log (x 1) t

Ta có phương trình ẩn t là:          

2 t 1 2 1 t 4 t 3t 2 0 t 2 t