Chuyên đề phương trình mũ và logarit - Lưu Huy Thưởng

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014

PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT

BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG

HÀ NỘI, 8/2013

HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………

LỚP :………………………………………………………………….

TRƯỜNG :…………………………………………………………………

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

VẤN ĐỀ I: LŨY THỪA

1. Định nghĩa luỹ thừa

Số mũ α Cơ số a Luỹ thừa aα

* n N α = ∈ a ∈ R . ...... n a a a a a α = = (n thừa số a)

0 α = 0 a ≠ 0 1 a a α = =

* ( ) n n N α = − ∈ 0 a ≠ 1 n

n a a

a

α − = =

* ( , ) m m Z n N n α = ∈ ∈ 0 a > ( )

m n n m n n a a a a b b a α = = = ⇔ =

* lim ( , ) n n r r Q n N α = ∈ ∈ 0 a > lim nr a a α =

2. Tính chất của luỹ thừa

• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

. . ; ; ( ) ; ( ) . ; a a a a a a a a a ab a b b a b

α α α α β α β α β α β α β α α α β α + −   = = = = =   

• a > 1 : a a α β α β > ⇔ > ; 0 < a < 1 : a a α β α β > ⇔ <

• Với 0 < a < b ta có:

0 m m a b m < ⇔ > ; 0 m m a b m > ⇔ <

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3. Định nghĩa và tính chất của căn thức

• Căn bậc n của a là số b sao cho n b a = .

• Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có:

. n n n ab a b = ; ( 0)

n n n a a b b b = > ; ( ) ( 0) p n n p a a a = > ;

m n mn a a =

( 0) n m p q p q Neáu thì a a a n m = = > ; Đặc biệt

mn n m a a =

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2

• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n n a b < .

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n n a b < .

Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

4. Công thức lãi kép

Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.

Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: (1 )N C A r = +

VẤN ĐỀ II: LOGARIT

1. Định nghĩa

• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: loga b a b α α = ⇔ =

Chú ý: loga b có nghĩa khi

0, 1

0

a a

b

> ≠ > 

• Logarit thập phân: 10 lg log log b b b = =

• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln loge b b = (với 1 lim 1 2,718281

n e n

    = + ≈     )

2. Tính chất

• log 1 0 a = ; log 1 a a = ; log b a a b = ; log ( 0) a b a b b = >

• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó:

+ Nếu a > 1 thì log log a a b c b c > ⇔ >

+ Nếu 0 < a < 1 thì log log a a b c b c > ⇔ <

3. Các qui tắc tính logarit

Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có:

• log ( ) log log a a a bc b c = + • log log log a a a b b c c

 = −   • log log a a b b α α =

4. Đổi cơ số

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3

Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có:

• log log log

a b

a

c c b = hay log .log log a b a b c c =

• 1 log log a

b b a = • 1 log log ( 0) a a c c α α α = ≠

Bài tập cơ bản HT 1: Thực hiện các phép tính sau:

1) 2 1 4 log 4.log 2 2) 5 27 1 log .log 9 25 3)

3 loga a

4) 3 2 log 2 log 3 4 9 + 5) 2 2 log 8 6) 9 8 log 2 log 27 27 4 +

7)

3 4

1/3

7 1

log .log

log

a a

a

a a

a 8) 3 8 6 log 6.log 9.log 2 9) 3 81 2 log 2 4 log 5 9 +

10) 3 9 9 log 5 log 36 4 log 7 81 27 3 + + 11) 7 5 log 8 log 6 25 49 + 12) 2 5 3 log 4 5 −

13) 6 8

1 1 log 3 log 2 9 4 + 14) 9 2 125 1 log 4 2 log 3 log 27 3 4 5 + − + + 15) 3 6 log 3.log 36

HT 2: So sánh các cặp số sau:

1) 4 vaø log 3

1 log 4 3 2) 0,2 vaø log 3 0,1 log 2 0,34 3) 5 2 vaø log 3 4

2 3 log 5 4

4) 1 1 3 2

1 1 log log 80 15 2 vaø

+

5) 13 17 log 150 log 290 vaø 6) vaø

6 6

1 log log 3 2 2 3

HT 3: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: 1)Cho 2 log 14 a = . Tính 49 log 32 theo a.

2)Cho 15 log 3 a = . Tính 25 log 15 theo a.

3)Cho lg3 0,477 = . Tính lg9000; lg0,000027 ;

81

1 log 100 .

4)Cho 7 log 2 a = . Tính 1 2 log 28 theo a.

HT 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

1)Cho 25 log 7 a = ; 2 log 5 b = . Tính 3 5

49 log 8 theo a, b.