Bài giảng lũy thừa và hàm số lũy thừa

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT

BÀI 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết các khái niệm và tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hửu tỉ không

nguyên và lũy thừa với số mũ thực.

+ Biết khái niệm và tính chất của căn bậc n.

+ Biết khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa.

+ Biết công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa.

+ Biết dạng đồ thị của hàm số lũy thừa.

 Kĩ năng

+ Biết dùng các tính chất của lũy thừa để rút gọn biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa lũy

thừa.

+ Biết khảo sát hàm số lũy thừa.

+ Tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

• Với a tùy ý:

thöøa soá . ... n

n a a a a 

• Với 0 a  : 0 1; a  1 n

n a

a

 (a: cơ số, n: số mũ).

Chú ý:

0 0 , 0 n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự như lũy

thừa với số mũ nguyên dương.

2. Phương trình  * n x b 

• Với n lẻ: Phương trình (*) luôn có nghiệm duy nhất.

• Với n chẵn

+ Nếu 0  b : Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu.

+ Nếu 0  b : Phương trình (*) có một nghiệm 0  x

+ Nếu 0  b : Phương trình (*) vô nghiệm.

3. Căn bậc n

Khái niệm

Cho  b R , *  n N   2  n . Số a được gọi là căn bậc n của b

nếu  n a b.

• Với n lẻ và  b R , phương trình  nx b có duy nhất một căn bậc

n của b, ký hiệu là n b .

• Với n chẵn:

0  b : Không có căn bậc n của b.

TOANMATH.com Trang 3

0  b : Có một căn bậc n của 0 là 0.

0  b : Có hai căn trái dấu, ký hiệu giá trị dương là n b , còn giá

trị âm là n b .

Tính chất

Với , 0 a b  , * , m n N  ; p ta có:

• . ; n n n ab a b 

• , 0;

n n

n a a b b b  

•    , 0 ;

p n p n a a a  

• . ; n m n m a a 

• khi n leû

khi n chaün.

n n a a a

 



4. Lũy thừa với số mũ hửu tỉ

Cho số thực a dương và số hửu tỉ m r n  , trong đó

* , m n   . Lũy thừa của a với số mũ r được xác định như

sau:

m

n r m n a a a   .

5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Cho 0, a   là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn có một

dãy số hữu tỉ  nr mà lim n n r 

  và một dãy số tương ứng

  nra có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số  nr .

Khi đó ta kí hiệu lim nr

n a a 

  là lũy thừa của a với số mũ

.

6. Lũy thừa với số mũ thực

Tính chất

Với mọi a, b là các số thực dương; ,  là các số thực tùy ý, ta

có:

• . ; a a a     

• ; a a a



 

 

Ví dụ:

1 1 2; n n a a a a   .

TOANMATH.com Trang 4

• 

. ; a a    

•  . . ; a b a b    

• ; a a b b

 

      

So sánh hai lũy thừa

• So sánh cùng cơ số

- Nếu cơ số 1 a  thì . a a       

- Nếu cơ số 0 1 a  thì . a a       

• So sánh cùng số mũ

- Nếu số mũ 0  thì 0 . a b a b      

- Nếu số mũ 0  thì 0 . a b a b      

HÀM SỐ LŨY THỪA

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số , y x  với  được gọi là hàm số lũy thừa.

Chú ý: Tập xác định của hàm số y x  tùy thuộc vào giá trị

của .

Cụ thể:

• nguyên dương: D ;

• nguyên âm hoặc bằng 0:  \ 0 ; D 

• không nguyên:   0; . D  

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa y x  ,  có đạo hàm với mọi 0 x  và:

• 

1; x x     

•  

1. u u u        với u là biểu thức chứa x.

3. Khảo sát hàm số lũy thừa y x 

, 0 y x   , 0 y x  

a. Tập khảo sát:   0;

b. Sự biến thiên:

• 1 0, >0 y x x      

b. Sự biến thiên:

• 1 0, >0 y x x      

Ví dụ:

  2,5 1,2 2,5 1,2     

          0,5 1,1 0,5 1,1 0,3 0,3

Ví dụ:

0,8 0,8 3 2 3 2 4 3 4 3               

0,8 0,8 3 2 3 2 4 3 4 3

               

Ví dụ: Tập xác định của hàm số

5 y x  là ; D 

5 y x  là  \ 0 ; D 

2 7, y x y x   là   0; . D  

Ví dụ: Đạo hàm của hàm số

5 y x  là 6 5. y x  ;

2 sin y x  là

  2sin . sin 2sin .cos y x x x x   

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với

số mũ cụ thể, …