Bài giảng lôgarit

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT

BÀI 2. LÔGARIT

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết khái niệm và tính chất của lôgarit.

+ Biết các quy tắc lôgarit và công thức đổi cơ số.

+ Biết các khái niệm lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên.

 Kĩ năng

+ Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.

+ Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài toán biến đổi, tính toán các biểu thức chứa

lôgarit.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Khái niệm lôgarit

Cho hai số dương ,a b với 1 a . Số  thỏa mãn đẳng

thức a b  được gọi là lôgarit cơ số a của b , và ký

hiệu là log  a b .

2. Tính chất

Cho , 0, 1 a b a  . Ta có:

  log log 0; log 1

; log  

 

  a

a a

b

a

a

a b a

Nhận xét:   log , 0, 1        a b a b a b a

Ví dụ: 3 2 log 8 3 2 8   

Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0.

3. Quy tắc tính lôgarit

a. Lôgarit của một tích

Cho 1 2 , , 0 a b b  với 1 a , ta có:

1 2 1 2 log ( )   a a a b b log b log b

Chú ý: Định lý trên có thể mở rộng cho tích của n số

dương:

  1 1 log ... log ... log a n a a n b b b b   

trong đó 1 2 , , ,..., 0, 1. n a b b b a  

Ví dụ:

 1 1 log log 2 log .2 log 1 0; 2 2              

 3 3 3 3 3 1 2 3 7 8 log log log ... log log 2 3 4 8 9     

3

1 2 3 7 8 log . . ..... . 2 3 4 8 9       

3

1 log 2. 9  

b. Lôgarit của một thương

Cho 1 2 , , 0 a b b  với 1, a  ta có:

1

1 2 2 log log log a a a b b b b   

Đặc biệt: 1 log log a a b b    0, 0 . a b  

Ví dụ:

• 5 5 5 125 log log 125 log 25 3 2 1; 25     

• 7 7 1 log log 49 2. 49  

c. Lôgarit của một lũy thừa

Cho hai số dương , , a b 1. a  Với mọi , ta có:

log log a a b b   

Đặc biệt:

1 log log n a a b b n 

Ví dụ:

• 3 2 2 log 8 3log 8 3.3 9;   

• 4 2 2 1 1 3 log 8 log 8 .3 . 4 4 4   

4. Đổi cơ số

Cho , , 0; 1; 1, a b c a c    ta có:

Ví dụ:

• 2 8

2

log 16 4 log 16 ; log 8 3  

TOANMATH.com Trang 3

log log log

c a

c

b b a 

Đặc biệt:   1 log 1 ; log a

b b b a  

  1 log log 0 . a a b b     

• 3

27

1 log 27 3; log 3  

• 7 128 2 2

1 1 log 2 log 2 log 2 . 7 7   

5. Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên

a. Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Với 10 0, log b b 

thường được viết là logb hoặc lgb .

b. Lôgarit tự nhiên

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e . Với 0, loge b b 

được viết là lnb .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

TOANMATH.com Trang 4

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Biến đổi biểu thức lôgarit

Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho , 0 x y  và 2 2 4 12 . x y xy   Khẳng đinh nào sau đây đúng?

A.   2 2 2 log 2 log log 1. x y x y    

B. 2 2 2 2 log log log . 4 x y x y         

C.     2 2 2 1 log 2 2 log log . 2 x y x y    

D.   2 2 2 4log 2 log log . x y x y   

Hướng dẫn giải

Với , 0 x y  , ta có:  

2 2 2 4 12 2 16 x y xy x y xy     

 

2

2 2 log 2 log 16 x y xy   

  2 2 2 2log 2 4 log log x y x y     

         2 2 2 1 log 2 2 log log . 2 x y x y

Chọn C.

Nhận xét: Các lôgarit

có mặt trong các đáp

án đều có cùng cơ số

2. Do đó ta cũng có

thể dùng các quy tắc

của lôgarit, biến đổi

từng đáp án đến khi

thấy xuất hiện biểu

thức không còn

lôgarit và so sánh với

giả thiết ban đầu để

tìm ra đáp án đúng.

Ví dụ 2: Cho các số thực 0 a b   . Mệnh đề nào sau đây sai?

A.      

2 2 2 ln ln ln . ab a b   B.     1 ln ln ln . 2 ab a b  

C. ln ln ln . a a b b       

D.    

2

2 2 ln ln ln . a a b b       

Hướng dẫn giải

Vì khi 0 a b   không tồn tại ln , ln . a b

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho , , , a b c d là các số thực dương, khác 1. Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A. ln . c d a c a b b d         

B. ln . ln

c d a d a b b c   

C. ln . ln

c d a c a b b d    D. ln . c d a d a b b c         

Hướng dẫn giải

Chú ý: Khi biến đổi

biểu thức chứa

lôgarit, ta cần thận

trọng trong việc …