Bài giảng hàm số mũ và hàm số lôgarit

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 2

BÀI 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững khái niệm và tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit.

+ Trình bày và áp dụng được công thức tìm đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit.

+ Nhận biết dạng đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit.

 Kĩ năng

+ Biết cách vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai

biểu thức chứa mũ và lôgarit.

+ Biết cách vẽ đồ thị các hàm số mũ, hàm số lôgarit.

+ Tìm được đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Hàm số mũ

Định nghĩa

Hàm số   0; 1 x y a a a    được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Tập xác định

Hàm số   0; 1 x y a a a    có tập xác định là .

Đạo hàm

Hàm số   0; 1 x y a a a    có đạo hàm tại mọi x.

 ' ln x x a a a 

 ' ln . ' u u a a a u 

  lim 0, lim 1 ; x x

x x a a a     

  lim , lim 0 0 1 . x x

x x a a a      

Sự biến thiên

 Khi 1 a  hàm số luôn đồng biến.

 Khi 0 1 a   hàm số luôn nghịch biến.

Đồ thị

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm

   0;1 , 1;a và nằm phía trên trục hoành.

Đặc biệt:  ' e x x e  .

TOANMATH.com Trang 2

2. Hàm số lôgarit

Định nghĩa

Hàm số   log 0; 1 a y x a a    được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Tập xác định

Tập xác định:   0;.

Đạo hàm

Hàm số   log 0; 1 a y x a a    có đạo hàm tại mọi x dương và

  1 log ' ln a x x a  .

Giới hạn đặc biệt

  0 lim log , lim log 1 a a x x x x a       ;

  0 lim log , lim log 0 1 a a x x x x a        .

Sự biến thiên

 Khi 1 a  hàm số luôn đồng biến.

 Khi 0 1 a   hàm số luôn nghịch biến.

Đồ thị

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm

   1;0 , ;1 a và nằm bên phải trục tung.

Nhận xét: Đồ thị của các hàm số x y a  và loga y x    0, 1 a a  

đối xứng với nhau qua đường thẳng y x  .

Ứng dụng

1. Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính

trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước

không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì

hạn người gửi không đến rút tiền ra.

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi

đơn r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau

n kì hạn ( * n ) là:   1 n S A nAr A nr    

2. Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút

ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.

Đặc biệt:   1 ln ' x x  .

  1 log ; n r

S n A 

      

TOANMATH.com Trang 3

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi

kép r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau

n kì hạn ( * n ) là:   1

n n S A r   .

3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền

vào một thời gian cố định.

Công thức tính: Đầu mỗi tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng

số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) thì số tiền khách hàng nhận

được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( * n ) (nhận tiền cuối tháng, khi

ngân hàng đã tính lãi) là Sn .

Ta có     1 1 1 n n

A S r r r

        .

4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng). Mỗi

tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng.

Công thức tính:  

  1

1 1

n

n n r X A r S

r         

.

Khi đó số tiền còn lại sau n tháng là     1 1 1

n n n

r S A r X

r

    

5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi

suất r (% / tháng). Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn

nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền

là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.

Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn

toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có

    1 1 1

n n n

r S A r X r

     .

Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì 0 n S  nên

    1 1 1 0

n n r A r X r

     .

Suy …