Phương trình mũ không chứa tham số

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC

CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ - ĐÁNH GIÁ

(KHÔNG CHỨA THAM SỐ)

PHƯƠNG PHÁP

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

 Tính chất 1: Nếu hàm số ( ) y f x = liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến)

trên ( ) ;a b thì phương trình ( ) f x k = có không quá một nghiệm trên ( ) ;a b

 Tính chất 2: Nếu hàm số ( ) y f x = liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến);

hàm số ( ) y g x = liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên ( ) ;a b thì phương

trình: ( ) ( ) f x g x = có không quá một nghiệm trên ( ) ;a b .

 Tính chất 3: Nếu ( ) y f x = đồng biến hoặc nghịch biến trên ( ) ;a b thì ( ) ( ) f u f v =

u v ⇔ = , ( ) ; ,u v a b ∀ ∈ .

 Tính chất 4: Nếu ( ) ( )( ) 0 ; n f b a x x ∀∈ > hoặc ( ) ( )( ) 0 ; n f b a x x ∀∈ < thì phương trình

( ) 0 f x = có nhiều nhất n nghiệm ( ) ; x a b ∈ .

 Tính chất 5: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm đến cấp k liên tục trên ( ) ;a b . Nếu phương

trình ( ) ( ) 0 k f x = có đúng m nghiệm thì phương trình ( ) ( ) 1 0 k f x − = có nhiều nhất là

1 m + nghiệm. Lưu ý: có thể thay ( ) ;a b bằng [ ] ;a b , ( ; ] a b , [ ; ) a b .

PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ • Quy tắc 1. Giải phương trình ( ) ( ) f x g x = .  Xác định 0 x x = là một nghiệm của phương trình.

 Chứng minh với mọi

0

0

x x

x x

>  < 

thì phương trình vô nghiệm.

 Kết luận 0 x x = là nghiệm duy nhất. • Quy tắc 2. Giải phương trình ( ) ( ) f x g x = .

 Xét trên tập xác định D ta có ( ) , ( ) ( ), ( ) ,

f x m x D f x m g x x D g x m x D

≤ ∀∈  ⇔ ≤ ≤ ∀∈  ≥ ∀∈ 

.

 Phương trình thỏa mãn khi ( ) ( ) f x g x m = = .  Hoặc đánh giá trực tiếp ( ) ( ) f x g x ≤ ; ( ) ( ) f x g x ≥ . Từ đó tìm dấu '' '' = xảy ra . • Quy tắc 3. Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.  Ta có: sin [ 1;1];cos [ 1;1] x x ∈− ∈− .  Điều kiện để hàm số lượng giác cos sin a x b x c + = có nghiệm là 2 2 2 a b c + ≥ .  Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt.

Câu 1. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau:

3 2 4 3( 2) x x x + + = + .

A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn A; Ta có 3 2 4 3( 2) 3 2 3 2 0 x x x x x x + + = + ⇔ + − − =

Xét hàm số ( ) 3 2 3 2 x x f x x = + − − trên .

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC

Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Ta có ( ) 3 ln3 2 ln2 3 x x f x ′ = + −

Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 3 . ln3 2 . ln 2 0, x x f x x ′′ = + > ∀∈.

( ) f x ′ ⇒ là hàm đồng biến, liên tục trên  ⇒ ( ) 0 f x ′ = có nhiều nhất một nghiệm trên .

Suy ra ( ) 0 f x = có nhiều nhất là hai nghiệm.

Mà ta thấy ( ) ( ) 1 0 0 0; 1 f f x x = = ⇒ = = là hai nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có tập nghiệm { } 0;1 S = . Do đó tổng các nghiệm là 1.

Câu 2. Gọi S là tập hợp mọi nghiệm của phương trình

2 2 3 2 2 2 2 2 4 x x x x x − + −− − = − . Số phần tử của S là: A. 3. B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn C

Ta có ( ) ( ) 2 2 2 4 2 3 2 x x x x x − = − − − − + .

Phương trình đã cho tương đương

2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 x x x x x x x x − + −− + − + = + − − ( ) 1

Xét hàm số ( ) ( ) 2 , t f t t t = + ∀∈.

Ta có ( ) 2 ln 2 1 0, t f t t ′ = + > ∀∈.

Suy ra ( ) f t là hàm số đồng biến trên tập .

Do đó, từ ( ) 1 ta có 2 2 3 2 2 2 x x x x x − + = − − ⇔ = .

Câu 3. Cho phương trình 9 9 6 3 cos( ), x x x π + = −⋅ số nghiệm thực của phương trình là

A. 1 B. 2 . C. 3. D. vô nghiệm. Lời giải Chọn A

Ta có phương trình 9 9 9 6 3 cos( ) 3 6cos( ) 3

x x x x x x π π + = −⋅ ⇔ + = − ( *)

Mà 9 3 6; 6cos( ) 6, 3

x x x x R π + ≥ − ≤ ∀∈ .

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi

9 3 6 1 3 cos 1

x x x x π

 + =  ⇔ =   = − 

.

Câu 4. Số nghiệm của phương trình

3 cos cos 1 1 cos3 16 8     − =        

x x x trên [ ] 0;2021 là?

A. 1932. B. 1930. C. 1925. D. 1927 . Lời giải Chọn B

Phương trình đã cho tương đương với:

3 4cos 3cos 3 1 1 4cos 3cos 2 2     − = −        

x x x x

3 4cos 3cos 3 1 1 4cos 3cos 2 2     ⇔ − = −        

x x x x ( ) 1