Bài toán lãi suất và tăng trưởng

CHỦ ĐỀ 9: BÀI TOÁN LÃI SUẤT, TĂNG TRƯỞNG

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 BÀI TOÁN 1. CÔNG THỨC LÃI KÉP

Công thức: ( ) 1 n T A r = +

A là số tiền gốc ban đầu,

r là lãi suất/kỳ hạn và n là số kỳ hạn.

T là tổng số tiền cả gốc lẫn lãi thu được.

Như vậy số tiền lãi thu được là: ( ) 1 n L T A A r A = − = + − .

Ví dụ 1: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất

6%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào

gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100

triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian, lãi suất không đổi và người đó không rút

tiền ra.

A. 13 năm B. 12 năm C. 14 năm D. 11 năm

Lời giải

Gọi n + ∈ là số năm cần để có hơn 100 triệu đồng.

Suy ra ( ) 50 1 6% 100 11,9 12 n n n + > ⇔ > ⇒ = năm. Chọn B.

Ví dụ 2: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 7,5%/năm.

Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính

lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp

đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút

tiền ra?

A. 11 năm B. 9 năm C. 10 năm D. 12 năm

Lời giải

Áp dụng công thức lãi kép ta có: ( ) 1 n T A r = + trong đó 7,5%, 2 r T A = ≥

Suy ra ( ) 1,075 1 7,5% 2 1,075 2 log 2 9,58 n n A A n + ≥ ⇒ ≥ ⇔ ≥ ≈ .

Vậy cần ít nhất 10 năm để số tiền người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu. Chọn C.

Ví dụ 3: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A

dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền

dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây

là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?

A. Năm 2022 B. Năm 2021 C. Năm 2020 D. Năm 2023

Lời giải

Tổng số tiền ông A trả lương cho nhân viên sau n năm là: ( ) ( ) 0 1 1 1 15% n n T T r = + = +

Giải ( ) 1 15% 2 4,95 5 n n n + ≥ ⇒ ≥ ⇒ = . Chọn B.

Ví dụ 4: [Đề thi ở GD&ĐT Hà Nội năm 2017] Ông Việt dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi

suất 6,5% một năm. Biết rằng, cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Tính số tiền tối

thiểu x (triệu đồng, x∈) ông Việt gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn

máy trị giá 30 triệu đồng.

A. 150 triệu đồng B. 154 triệu đồng C. 145 triệu đồng D. 140 triệu đồng

Lời giải

Công thức lãi kép ( ) 1 n T A r = +

Tiền lãi ông Việt có sau 3 năm sẽ là tiền gốc lẫn lãi trừ đi số tiền gốc ban đầu

Ta có: ( ) ( )

3

3 30 1 6,5% 30 144,26 1 6,5% 1 A A A + − ≥ ⇔ ≥ ≈ + −

triệu. Chọn C.

Ví dụ 5: Sau một thời gian làm việc, chị An có số vốn là 450 triệu đồng. Chị An chia số tiền thành hai phần

và gửi ở hai ngân hàng Agribank và Sacombank theo phương thức lãi kép. Số tiền ở phần thứ nhất chị An

gửi ở ngân hàng Agribank với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 18 tháng. Số tiền ở phần thứ hai chị An

gửi ở ngân hàng Sacombank với lãi suất 0,73% một tháng trong thời gian 10 tháng. Tổng số tiền lãi thu

được ở hai ngân hàng là 50,01059203 triệu đồng. Hỏi số tiền chị An đã gửi ở mỗi ngân hàng Agribank và

Sacombank là bao nhiêu?

A. 280 triệu và 170 triệu B. 170 triệu và 280 triệu

C. 200 triệu và 250 triệu D. 250 triệu và 200 triệu

Lời giải

Gọi ,x y (triệu đồng) lần lượt là số tiền mà chị An gửi vào ngân hàng Agribank và Sacombank.

Số tiền lãi mà chị An nhận được khi gửi tiền vào ngân hàng Agribank là ( ) 6 1 . 1 2,1% t x x = + − triệu.

Số tiền lãi mà chị An nhận được khi gửi tiền vào ngân hàng Sacombank là ( ) 10 2 . 1 0,73% t y y = + − triệu.

Khi đó, ta có hệ phương trình

( ) ( ) 6 10 450 280 170 . 1 2,1% . 1 0,73% 500,010592

x y x y x y

+ =  =   ⇒   = + + + =  …