Bài toán min - max mũ và logarit

CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN MIN – MAX LOGARIT

1. Công thức lôgarit

Giả sử 0, 1 a a > ≠ và các số A, B, N,… > 0 ta có các công thức sau đây:

• ( ) log log log a a b AB A B = + .

Mở rộng ( ) 1 2 1 2 log ... log log ... log a N a a a N A A A A A A = + + + .

• log log log a a a A A B B = − . Hệ quả 1 log log a N N = − .

• log .log a a N N α α =

• 1 log .log n a a N N n =

Công thức đổi cơ số: Giả sử a, b dương và khác 1; , 0 c x > ta có

• log .log log a b a b c c = và 1 1 log ; log log log a a b a b x x a = = − .

• 1 log loga a x x α α = và log .log n a a x n x = .

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D( f(x) xác định và liên tục trên D)

Phương pháp giải

- Bước 1: Tính ( ) y f x ′ ′ = , tìm tất cả các nghiệm ix của phương trình ( ) 0 f x ′ = và các điểm i α làm cho

( ) f x ′ không xác định.

- Bước 2:

• Trường hợp 1: [ ] ; D a b ∈ . Tính các giá trị ( ) ( ) ( ) ( ) , , , i i f a f b f x f α .

Với [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }

min min , , , , ; max max , , ,

i i D i i

i i D

f x f a f b f x f x a b f x f a f b f x f

α α α

 =  ∈ → = 

.

• Trường hợp 2: [ ] ; D a b ∉ →Lập bảng biến thiên suy ra min, max.

Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn điệu trên đoạn [ ] ;a b .

Nếu hàm số ( ) y f x = đồng biến với [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ; ; ; min ;max a b a b x a b y f a y f b ∀∈ ⇒ = = .

Nếu hàm số ( ) y f x = nghịch biến với [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ; ; ; min ;max a b a b x a b y f b y f a ∀∈ ⇒ = = .

3. Các bất đẳng thức quen thuộc

a) Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực dương: 2 a b ab + ≥ .

Mở rộng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương: 3 3 a b c abc + + ≥ .

b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 ab cd a c b d + ≤ + + .

c) Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ( )

2 2 2 x y x y a b a b + + ≥ + .

Ví dụ 1: Cho ( ) 3 loga m ab = , với , 1 a b > và 2 log 16log a b P b a = + . Khi biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất thì

giá trị của m bằng

A. 2 m = . B. 1 m = . C. 1 2 m = . D. 4 m = .

Lời giải:

Ta có: ( )

2 2 16 log 16log log log a b a a P b a b b = + = +

Đặt loga t b = vì , 1 log 0 a a b b t > ⇒ = >

Khi đó 2 2 2 3 16 8 8 8 8 . . 12 P t t t t t t t t = + = + + ≥ = .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 8 2 log 2 a t t b t = ⇔= ⇔ = .

Lại có ( ) ( ) ( )

1 3 3 1 1 log log log 1 log 1 3 3 a a a a m ab ab ab b = = = = + = . Chọn B.

Ví dụ 2: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn ( ) 2 ln ln ln x y x y + ≥ + . Tìm giá trị nhỏ nhất min P của biểu

thức P x y = + .

A. min 6 P = . B. min 2 2 3 P = + . C. min 3 2 2 P = + . D. min 17 2 P = + .

Lời giải:

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ln ln ln ln ln 1 x y x y xy x y xy x y y x x + ≥ + ⇔ ≥ + ⇔ ≥ + ⇔ − ≥ .

Mà , 0 x y > suy ra ( ) 2 1 0 1 0 1 y x x x x − ≥ > ⇔ −> ⇔ > . Khi đó ( )

2 2 1 1 x y x x y x − ≥ ⇔ ≥ −.

Do đó, biểu thức ( )

2 2 2 1 1 x x x P x y x f x x x − = + = + → = − − .

Xét hàm số ( ) f x trên khoảng ( ) 1;+∞, có ( ) ( )

2

2 2 4 1, 1 1

x x f x x x

− + ′ = ∀≠ −

.

Phương trình ( ) 2 1 2 2 0 2 4 1 0

x f x x x x

>  + ′ = ⇔ ⇔ =  − + = 

.