Tài liệu hàm số mũ và hàm số lôgarit Toán 11 CTST

5

Bài 1 PHÉP TÍNH LŨY THỪA

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Cho a∈ và * n∈. Khi đó . . .... n a a a a a = (n thừa số a).

Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho { } \ 0 a∈ và * n∈. Ta có: 0 1 1 ; 1; −= = = n n a a a a a

.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Chú ý: 0 0 và ( ) * 0 n n − ∈ không có nghĩa.

2. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên dương 2 n ≥ .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu n a b = .

Khi n lẻ, b∈: Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là n b .

Khi n chẵn và 0 b < thì không tồn tại căn bậc n của số b.

Khi n chẵn và 0 b = thì có duy nhất một căn bậc n của số b là 0 0 n = .

Khi n chẵn và 0 b > có 2 căn bậc n của số thực b là n b và n b − .

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ

Cho số thực 0 a > và số hữu tỷ m r n = , trong đó ; , 2 m n n ∈ ∈ ≥   . Khi

đó

m n r m n a a a = = .

Chương VI HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

6

4. Lũy thừa với số mũ vô tỷ

Giả sử a là một số dương và α là một số vô tỷ và ( ) nr là một dãy số hữu tỷ

sao cho lim n n r α →+∞ = . Khi đó lim nr

n a aα

→+∞ = .

II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

Cho hai số dương a; b và ; m n∈. Khi đó ta có các công thức sau.

Nhóm công thức 1 Nhóm công thức 2

1. . m n m n a a a + =

2. 1 0

m m n n n n a a m a a a

− −   = = ⇔ =    

3. ( ) . n m m n a a =

1. ( )

m m n m n n a a a = =

2. ( ) . , . n n n n n n a b ab a b ab = =

3. ,

n n n n n n a a a a b b b b   = =    

B. CÁC DẠNG TOÁN.

DẠNG 1: RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC CHỨA LŨY THỪA Phương pháp:

Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của lũy thừa. Chọn ,a b là các số thực dương, ,x y là các số thực tùy ý, ta có:

 . x y x y a a a + = và

x x y y a a a

−= .



( ) ( ) . ; ;

x x y x x x x xy x a a a b ab a a b b   = = =     .

Ví dụ 1. Tính ( ) ( ) ( ) 0 2 3 1 4 2 ; 4,72 ; 3 ; 2 ; 4 − − − .

Lời giải

Ta có:

7

( ) ( ) ( )( ) 0 2 12 2; 4,72 1; 3 3 3 9; = = − = − − =

( ) ( )

3 4 3 1 1 2 2.2.2.2 16; 4 . 64 4

− = = − = = − −

Ví dụ 2. Đưa các biểu thức sau về dạng lũy thừa

1) ( ) 0 > a a a . 2)

3

0,75 2 4 16

. 3) ( ) 5 3 , 0 . > b a a b a b

.Lời giải

1)

1 1 1 3 3 2 2 2 2 4 .     = = =         a a a a a a .

2)

( )

( )

1 1 2 2 3 5 13 3 6 6 3 0,75 3 4 4

2. 2 2 4 2 2 16 2 2

−       = = = .

3)

1 1 2 2 2 5 15 15 15 15 5 3 1 1 5 15 . .

−   = = =    

b a b a b a b a b a a b

.

Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức sau đây:

1) ( )

4 5 a − . 2) ( ) 4 2 81 0 a b b ≤ . 3) ( ) ( ) 4 8 4 1 1 . x x x + ≤−

Lời giải

1) ( ) ( ) 4 2 5 5 a a − = − .

2)

4 2 2 2 81 9 9 a b a b a b = = − (do 0 b ≤ )

3) ( ) ( ) 4 8 2 2 4 1 . 1 1 x x x x x x + = + = − + (do 1 1 0 x x ≤−⇔ + ≤ ).

Ví dụ 4. Tính giá trị của biểu thức ( ) ( )

2024 2025 5 2 6 . 5 2 6 = + − P

Lời giải

Ta có: ( )( ) 5 2 6 5 2 6 25 24 1 + − = − = .

8

Do đó

( ) ( ) ( )( ) ( )

2024 2024 2025 5 2 6 . 5 2 6 5 2 6 5 2 6 . 5 2 6 5 2 6.   = + − = + − − = −   P

Ví dụ 5. Không dùng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau

1)

1 5 1 3 7 1 1 2 3 3 2 4 2 4 3 .5 : 2 : 16: 5 .3 .2 A

−         =                    

2)

6 3 5 3 3 4. 2. 8 3. 3. 3 B   = +    

.

3) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 4 2 25 5 .5 8 .4 : 2 C + −− + − + = − + .

Lời giải

1)

1 1 5 1 5 1 3 7 1 1 3 1 7 1 2 2 4 3 3 3 3 2 4 2 4 2 2 4 4 3 .5 : 2 : 16: 5 .3 .2 3 .5 .2 : 2

− + + +           = =                         A

( )

1 2 2 2 4 1 2 15 3 .5 .2 .2 3.5.2 2

− − = = =

2)

1 1 6 6 6 5 17 17 18 1 3 3 3 5 5 3 5 2 3 3 6 6 18 10 2 2 4. 2. 8 3. 3. 3 2 .2 3.3 2 3 2 3 .           = + = + = + = +                     B

3)

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2

1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 4 2

1 2 2 4 2 5 5 2 .2 25 5 .5 8 .4 : 2 5 2 C

+ + −

+ −− + − +

+ + − = − + = +

5 2 1

4 2 2 1 36 5 5 5 2 . 5 5 2

+ −

+ = − + = − + =

Ví dụ 6. Cho ( ) ( )

1 1 …