Hướng dẫn giải các dạng toán tổ hợp và xác suất

CHƯƠNG2 TỔHỢP VÀ XÁC SUẤT

BÀI 1. CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1 (Quy tắc cộng). Một công việc X được thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, . . . , Ak, trong đó

1 Phương án A1 có n1 cách thực hiện;

2 Phương án A2 có n2 cách thực hiện;

3 . . .

4 Phương án Ak có nk cách thực hiện.

Khi đó sốcách hoàn thành công việc X là n(X) = n1 + n2 + · · · + nk = k ∑ i=1 ni cách.

Định nghĩa 2 (Quy tắc nhân). Giảsửmột nhiệm vụX nào đó được hoàn thành lần lượt qua k giai đoạn A1, A2, . . . , Ak:

1 Giai đoạn A1 có n1 cách làm;

2 Giai đoạn A2 có n2 cách làm;

3 . . .

4 Giai đoạn Ak có nk cách làm.

Khi đó công việc X có sốcách thực hiện là n(X) = n1 · n2 · n3 · · · nk = k ∏ i=1 ni cách.

Định nghĩa 3 (Quy tắc bù trừ). Đối tượng x cần đếm được chứa trong một đối tượng X gồm x và x đối lập nhau. Nếu X có m cách chọn, x có n cách chọn. Vậy x có (m −n) cách chọn. Vềmặt thực hành, đềcho đếm những đối tượng thỏa a và b. Ta cần làm:

Bài toán 1: Đếm những đối tượng thỏa a.

Bài toán 2: Đếm những đối tượng thỏa a, không thỏa b.

Do đó, kết quảbài toán = kết quảbài toán 1 −kết quảbài toán 2.

169

170 CHƯƠNG 2. TỔHỢP VÀ XÁC SUẤT

!

Nếu bài toán chia ra từng trường hợp không trùng lặp đểhoàn thành công việc thì dùng qui tắc cộng, nếu bài toán chia ra từng giai đoạn thực hiện thì ta dùng quy tắc nhân. Trong nhiều bài toán, ta không chỉkết hợp giữa hai quy tắc này lại với nhau đểgiải mà cần phân biệt khi nào cộng, khi nào nhân, khi nào trừ.

“Nếu cho tập hợp hữu hạn bất kỳA và B giao nhau khác rỗng. Khi đó thì sốphần tửcủa A ∪B bằng sốphần tửcủa A cộng với sốphần tửcủa B rồi trừđi sốphần tửcủa A ∩B, tức là n(A ∪B) = n(A) + n(B) −n(A ∩B)”. Đó là quy tắc cộng mở rộng. Do đó khi giải các bài toán đếm liên quan đến tìm sốsao cho các sốđó là số chẵn, sốlẻ, sốchia hết ta nên ưu tiên việc thực hiện (chọn) chúng trước và nếu chứa số0 nên chia 2 trường hợp nhằm tránh trùng lặp với nhau.

Dấu hiệu chia hết: Gọi N = anan−1 . . . a1a0 là sốtựnhiên có n + 1 chữsố(an ̸= 0). Khi đó:

+ N ... 2 ⇔a0 ... 2 ⇔a0 ∈{0; 2; 4; 6; 8}.

+ N ... 5 ⇔a0 ... 5 ⇔a0 ∈{0; 5}.

+ N ... 4 (hay 25) ⇔a1a0 ... 4 (hay 25).

+ N ... 8 (hay 125) ⇔a2a1a0 ... 8 (hay 125).

+ N ... 3 (hay 9) ⇔a0 + a1 + · · · + an ... 3 (hay 9).

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

1 VÍ DỤ

{ DẠNG 1.1. Bài toán sửdụng quy tắc cộng

VÍ DỤ1. Trong một cuộc thi tìm hiểu vềđất nước Việt Nam, ban tổchức công bố danh sách các đềtài bao gồm: 8 đềtài vềlịch sử, 7 đềtài vềthiên nhiên, 10 đềtài về con người và 6 đềtài vềvăn hóa. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu cách chọn đềtài? ĐS: 31

L Lời giải

Mỗi thí sinh có các 4 phương án chọn đềtài:

Chọn đềtài vềlịch sửcó 8 cách chọn.

Chọn đềtài vềthiên nhiên có 7 cách chọn.

Chọn đềtài vềcon người có 10 cách chọn.

Chọn đềtài vềvăn hóa có 6 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, có 8 + 7 + 10 + 6 = 31 cách chọn đềtài. □

1. CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 171

VÍ DỤ2. Giảsửtừtỉnh A đến tỉnh B có thểđi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn chuyến đi từtỉnh A đến tỉnh B? ĐS: 18

L Lời giải

Đểđi từA đến B có 3 phương án lựa chọn:

Đi bằng ô tô có 10 cách chọn.

Đi bằng tàu hỏa có 5 cách chọn.

Đi bằng máy bay có 3 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, có 10 + 5 + 3 = 18 cách chọn. □

{ DẠNG 1.2. Bài toán sửdụng quy tắc nhân

VÍ DỤ1. An đến nhà Bình đểcùng Bình đến chơi nhà Cường. Từnhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từnhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi từnhà mình đến nhà Cường? ĐS: 24

L Lời giải

Đểđi từnhà An đến nhà Cường cần thực hiện 2 giai đoạn

Đi từnhà An đến nhà Bình có 4 cách.

Đi từnhà Bình đến nhà Cường có 6 cách.

Theo quy tắc nhân, có 4 · 6 = 24 cách chọn đường đi. □

VÍ DỤ2. Lớp 11A có 30 học sinh. Tập thểlớp muốn bầu ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủquỹ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một ban cán sựlớp như trên, biết rằng một bạn chỉcó thếlàm tối đa một vai trò? ĐS: 24360

L Lời giải

Đểbầu ra một ban cán …