Chuyên đề trắc nghiệm quan hệ song song

CHỦ ĐỀ 2: QUAN HỆ SONG SONG

VẤN ĐỀ 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt

Định nghĩa:

- Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

- Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.

- Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung

Như vậy: Hai đường thẳng a và b song song với nhau

xác định một mặt phẳng ký hiệu là mp(a;b)

2. Hai đường thẳng song song

■ Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường

thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường

thẳng đã cho.

■ Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với

nhau:

■ Định lý: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy

hoặc đôi một song song với nhau.

=> Hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) của

hai mặt phẳng nói trên sẽ song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

d 1d 2 d

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của SA và SB.

a) Chứng minh: MN//CD.

b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I.

Chứng minh SI//AB//CD. Tứ giác SIBA là hình gì? Vì sao?

Lời giải

a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB

nên MN//AB mặt khác AB//CD

=> MN//CD.

b) Gọi O AC CD = ∩ và E SO ND = ∩ khi đó SE cắt SC tại P.

Xét 3 mặt phẳng (SAB);(SCD) và (ABCD) có các giao tuyến

chung là SI, AB và CD song song hoặc đồng quy.

Do AB//CD nên SI//AB//CD.

Ta có: NS NI SI SI / /AB 1. NB NA AB ⇒ = = =

Khi đó: SI / /AB SIBA SI AB  ⇒  = 

là hình bình hành.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Lời giải

a) Vì MQ là đường trung bình của tam giác ABCD nên ta có

MQ / /BD 1 MQ BD 2

 = 

.

Tương tự ta cũng có:

NP / /BD 1 NP BD 2

 = 

Do vậy MQNP là hình bình hành từ đó suy ra MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

b) Tương tự chứng minh trên ta cũng có tứ giác RNSM cũng là hình bình hành do có

RN / /MS 1 RN MS AD 2

 = = 

suy ra RS và MN cũng cắt nhau tại trung điểm I của MN.

Vậy ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đoạn.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi M, N, P, Q lần lượt nằm trên BC, SC, SD,

AD sao cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD.

a) Chứng minh rằng: PQ//SA.

b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng: SK//AD//BC.

Lời giải

a) Ta có: ( ) CN CM DQ MN / /SB 1 . SC CB AD ⇒ = =

Lại có: ( ) CN DP NP / /CD 2 . CS DS ⇒ =

(Định lý Ta-let)

Từ (l) và (2) suy ra DP DQ SA / /PQ DS AD = ⇒ .

b) Xét 3 mặt phẳng (SAD); (SBC) và (ABCD) cắt nhau theo các giao tuyến là SK,AD,BC.

Suy ra SK, AD, BC song song hoặc đồng quy.

Mặt khác AD / /BC SK / /AD / /BC. ⇒

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành.

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAD) và (SBC); (SAB) và (SCD).

b) Lấy M thuộc SC. Tìm giao điểm N của SD và (ABM). Tứ giác ABMN là hình gì?

Lời giải

a) Trong (SAD) dựng đường thẳng d di qua S và song song với

AD.

Ta có: d / /AD, AD / /BC d / /BC. ⇒

Suy ra d thuộc (SBC).

Nên d là giao tuyến của (SAD) và (SBC).

Tương tự, trong (SAB) dựng đường thẳng 1d đi qua S, song song

với AB thì 1d là giao tuyến của (SAB) với (SCD).