Tài liệu chủ đề hai đường thẳng song song

Trang 1

CHỦ ĐỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Các hệ thức lượng giác cơ bản

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt

- Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng

nằm trong một mặt phẳng.

- Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không

đồng phẳng.

- Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng

phẳng và không có điểm chung

Kết luận: Hai đường thẳng a và b song song với nhau xác định một mặt phẳng ký hiệu là mp   ;a b

2) Hai đường thẳng song song

Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm

ngoài một đường thẳng cho trước, có một và chỉ một

đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với

nhau.

Định lý: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc

đôi một song song với nhau.

Hệ quả 1: Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) của

hai mặt phẳng nói trên sẽ song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Trang 2

Hệ quả 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABCD , có đáy là hình thang với đáy lớn AB . Gọi , M N lần lượt là trung

điểm của SA và SB .

a) Chứng minh: / / MN CD

b) Tìm giao điểm P của SC với   AND . Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I .

Chứng minh / / / / SI AB CD . Tứ giác SIBA là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên / / MN AB mặt khác / / / / AB CD MN CD  .

b) Gọi O AC CD   và E SO ND   khi đó SE cắt SC tại P .

Xét 3 mặt phẳng    ; SAB SCD và   ABCD có các

giao tuyến chung là , SI AB và CD song song hoặc

đồng quy.

Do / / AB CD nên / / / / SI AB CD .

Ta có: / / 1 NS NI SI SI AB NB NA AB    

Khi đó: 

/ / SI AB SIBA SI AB   là hình bình hành.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD . Gọi , , , , , M N P Q R S lần lượt là trung điểm của , , , , , AB CD BC AD AC BD.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

b) Từ đó suy ra ba đoạn , , MN PQ RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Lời giải:

Trang 3

a) Vì MQ là đường trung bình của tam giác ABD nên ta có

/ /

1 2

MQ BD

MQ BD

  

Tương tự ta cũng có:

/ /

1 2

NP BD

NP BD

  

Do vậy MQNP là hình bình hành từ đó suy ra MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

b) Tương tự chứng minh trên ta cũng có tứ giác RNSM cũng là hình bình hành do có

/ /

1 2

RN MS

RN MS AD

   

suy ra RS và MN cũng cắt nhau tại trung điểm I của MN .

Vậy ba đoạn , , MN PQ RS cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đoạn.

Ví dụ 3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành, gọi , , , M N P Q lần lượt nằm trên BC , SC ,

SD , AD sao cho / / , / / , / / MN SB NP CD MQ CD .

a) Chứng minh rằng: / / PQ SA .

b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ . Chứng minh rằng: / / / / SK AD BC .

Lời giải:

Ta có: / / CN CM DQ MN SB SC CB AD    (1)

Lại có: / / CN DP NP CD CS DS   (2). (Định lý Ta-let)

Từ (1) và (2) suy ra / / DP DQ SA PQ DS AD   .

b) Xét 3 mặt phẳng   SAD ;   SBC và   ABCD cắt

nhau theo các giao tuyến là , , SK AD BC .

Suy ra , , SK AD BC song song hoặc đồng quy.

Mặt khác / / / / / / AD BC SK AD BC  .

Ví dụ 4. Cho hình chóp .S ABCD đáy là hình bình hành.