Tài liệu chủ đề đường thẳng song song với mặt phẳng

Trang 1

CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là song song với một mặt

phẳng nếu chúng không có điểm chung. Hình bên ta có:  / / a 

2) Các định lý quan trọng

 Định lí 1: Nếu một đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng

  và song song với một đường thẳng b nằm trên   thì a

song song với  

 Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng  .

Khi đó nếu một mặt phẳng   chứa a và cắt   theo giao

tuyến b thì a song song với b.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng   và   cùng song song với một đường

thẳng b thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng song song với b.

 Định lí 3: Với hai đường thẳng a và b chéo nhau cho trước, có

duy nhất một mặt phẳng   chứa a và song song với b

Với hai đường thẳng phân biệt a và b không song song với nhau, và một điểm O cho trước, có duy

nhất một mặt phẳng   qua O và song song với (hoặc chứa) a và b.

Phương pháp giải toán:

Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng  P ta sẽ chứng minh đường thẳng d không

nằm trong  P đồng thời song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng  P .

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.

a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng   SBC ,   SAD .

Trang 2

b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với   MNP .

c) Gọi 1 G , 2 G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh rằng:   1 2 / / G G SAC

Lời giải:

a) Vì M, N là trung điểm của AB, CD nên / / D / / MN A BC

Ta có:

 

 

  / / / /

AD SAD

MN AD MN SAD

MN SAD

       

Tương tự, ta có:

 

 

  / / / /

BC SBC

MN BC MN SBC

MN SBC

       

b) Vì P là trung điểm SA nên / /

/ /

MP SB

NP SC   

Ta có:

 

 

  / / / /

MP MNP

SB MP SB MNP

SB MNP

       

Tương tự chứng minh trên ta có:

 

 

  / / / /

NP MNP

SC NP SC MNP

SC MNP

       

c) Gọi I là trung điểm của BC

1

2

G AI

G BC

    

và   1 2

1 2 1 2 1 / / / / 3 IG IG G G SA G G SAC IA IS     .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Trên các cạnh SA, SB, AD lần lượt lấy M,

N, P sao cho SM SN PD SA SB AD   . Chứng minh:

a) MN song song với mặt phẳng   ABCD .

b) SD song song với mặt phẳng   MNP .

c) NP song song với mặt phẳng   SCD .

Lời giải:

a) Ta có: / / SM SN MN AB SA SB   (định lý Talet đảo)

Suy ra   / / MN ABCD .

b) Tương tự / / SM PD MP SD SA AD   (định lý Talet đảo)

Suy ra   / / SD MNP .

c) Ta có: / / MP SD

Mặt khác / / / / MN AB MN CD 

Trang 3

Do đó       / / / / MNP SCD NP SCD  .

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ABD  , M là một điểm trên cạnh BC sao cho

2 MB MC  . Chứng minh rằng:   / / MG ACD .

Lời giải:

Gọi N là trung điểm của AD

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên 2 BG GN 

Mà 2 MB MC  nên / / BG MB MG NC GN MC   .

Ta có:

 

 

  / / / /

NC ACD

MG NC MG ACD

MG ACD

       

.

Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ACD.

a) Chứng minh   / / MN BCD .

b) Gọi K là một điểm trên cạnh BC sao cho 2 KB KC  . Chứng minh   / / KM ACD .

Lời giải:

a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD và CD.

Theo tính chất trọng tâm ta có 2 / / 3 AM AN MN EF AE AF   

Do đó   / / MN BCD .

b) Gọi I là trung điểm của AD thì 2 3 BM

BI 

Mặt khác 2 2 / / 3 KB BM KB KC MK CI BC BI     

Do đó   / / KM ACD .

Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN.

a) Tìm giao điểm A của đường thẳng AG với mặt phẳng   BCD .

b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA và Mx cắt   BCD tại M. Chứng minh B, M, A

thẳng hàng và ' ' ' BM M A A N   .

c) Chứng minh rằng: 3 GA GA 

Lời giải:

a) Trong mp  ABN : Gọi A AG BN  

  A AG BCD     .

b) Xét trong mp   ABN : Kẻ '/ / ' …