Bài giảng đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Trang 1

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ SONG SONG

BÀI GIẢNG ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nhận biết được cách xác định điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

+ Hiểu được các khái niệm giao tuyến, giao điểm, thiết diện

 Kĩ năng

+ Xác định được giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian

+ Xác định được giao điểm của hai đường phẳng trong không gian

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Khái niệm ở đầu

Mặt phẳng: Mặt hồ nước yên lặng cho ta hình ảnh của

một phần mặt phẳng.

Mặt phẳng không có bề dày, không có giới hạn.

Biểu diễn mặt phẳng thường dùng một hình bình hành

hoặc một miền góc có ghi tên mặt phẳng ở góc.

Kí hiệu mặt phẳng ta thường dùng chữ cái in hoa (A, B,

C...) hoặc kí tự , , ,… và có thể đặt trong ngoặc (A),

(B), (α), khi cần thiết.

Khi một điểm A thuộc mặt phẳng (α) ta nói: A nằm trong

mặt phẳng (α) hay mặt phẳng (α) chứa A, hay A thuộc

(α).

Kí hiệu:   A 

Khi điểm B không nằm trong mặt phẳng (α), kí hiệu

  B .

2. Tính chất thừa nhận

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không

thẳng hàng cho trước.

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc

một mặt phẳng thì mọi điểm trên đường thẳng đều thuộc

mặt phẳng đó.

Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Nếu có

nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những

điểm đó đồng phẳng.

Dựa vào tính chất này chúng ta có thể chứng minh 3

điểm thẳng hàng.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì

chúng còn có một điểm chung khác nữa và do đó chúng

có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm

Dựa vào tính chất này chúng ta có thể chứng

minh 3 điểm thẳng hàng

TOANMATH.com Trang 3

chung của hai mặt phẳng đó.

Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt  

và   được gọi là giao tuyến của   và  

Kí hiệu là     d  .

3. Xác định mặt phẳng

Cách 1:

Qua ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt

phẳng.

Cách 2:

Qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài nó có một

và chỉ một mặt phẳng

Cách 3:

Qua hai đường thẳng cắt nhau có một và chỉ một mặt

phẳng.

4. Hình chóp

Trong mặt phẳng  , cho đa giác lồi 1 2... n A A A . Lấy

điểm S nằm ngoài mặt phẳng  .

Lần lượt nối S với các đỉnh 1 2 , ,..., n A A A để được n tam

giác 1 2 2 3 1 , ,..., n SA A SA A SA A . Hình gồm đa giác 1 2... n A A A

và n tam giác 1 2 2 3 1 , ,..., n SA A SA A SA A được gọi là hình

chóp và được kí hiệu là 1 2 . ... n S A A A .

Ta gọi S là đỉnh, đa giác 1 2... n A A A là mặt đáy, các tam

giác 1 2 2 3 1 , ,..., n SA A SA A SA A gọi là mặt bên của hình

chóp. Các đoạn thẳng 1 2 , ,..., n SA SA SA gọi là các cạnh

bên, các cạnh của đa giác 1 2... n A A A là các cạnh đáy của

hình chóp.

Chú ý: Nếu đáy của hình chóp là tam giác thì ta gọi là

“hình chóp tam giác” hay “tứ diện”

TOANMATH.com Trang 4

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1:Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp giải

Tìm giao tuyến của mặt phẳng   và  

Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng

đó

           

A A A



  

           

B B a B



 

     AB  

Chú ý. Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau khi và

chỉ khi chúng cùng nằm trên một mặt phẳng (đòng

phẳng) và không song song với nhau.

Ví dụ: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng

chứa hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của

hai mặt phẳng   SAC và   SBD .

Hướng dẫn giải

Ta có      1   S SAC SBD

Trong mặt phẳng (ABCD) có    AC BD O

Lại có

       

         

O AC ASC O SAC

O BD SBD O ABD

     2    O SAC ABD

Từ (1) và (2) suy ra       SO SAC SBD

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng   cho tức giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và   S .

Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

a)   SAC và   SBD

b)   SAB và   SCD

c)   SAD và   SBC

Hướng dẫn giải